Золотое сечение. Презентацию выполнила ученица 9 «А» класса Гришина Кристина год.

Деление отрезка в среднем и крайне отношении называют ЗОЛОТЫМ СЕЧЕНИЕМ. В истории утвердилось еще одно название – «золотая пропорция». Доказательство: Пусть С £ АВ и производит, как говорят, «золотое сечение» отрезка. Если длину отрезка АВ обозначить через а, а длину АС- через х, то (а-х) –длина отрезка СВ, и пропорция АС:АВ=СВ:АС примет вид:

В пропорции, как известно, произведение крайних членов равно произведению средних и пропорцию Перепишем в виде: х 2 =а(а-х). Получаем квадратное уравнение: х 2 + ах- а 2 = 0. Длина отрезка выражается положительным числом, поэтому из двух корней Следует выбрать положительный корень. или

Число обозначается буквой φ в честь древнегреческого скульптора Фидия(родился в начале V века до н.э.), в твореньях которого это число встречается многократно. Число φ – иррациональное, оно записывается так: φ = 0, Но в практике пользуются числом φ, взятым с точностью или до тысячных 0,618, или до сотых 0,62, или до десятых 0,6. Если φ =0,62(приблизительно), то х=0,62 а, тогда (а-х)= 0,38 а. Таким образом, части «золотого сечения» составляют приблизительно 62% и 38% всего отрезка.

Геометрически золотое сечение можно построить следующим образом: построим отрезок АВ, восстановим в точке В перпендикуляр к АВ, на нем отложим точку D таким образом, чтобы ВD=½АВ. Далее, соединив точки А и D, отложим DE=BD,и, наконец, АС=АЕ. точка С является искомой, она производит «золотое сечение» отрезка АВ. В самом деле, заметим, что по теореме Пифагора (АЕ+ЕD) 2 =AB 2 +BD 2, а по построению АЕ=АС, ЕD=BD= ½АВ. Из этих равенств следует, что АС 2 + АС*АВ=АВ 2, а отсюда легко получить равенство АС:АВ=СВ:АС

Обозначим одну из них через ОА, другую через ОВ. Угол между лучами-ветками обозначим через а, дополняющий его до 360 0,-через β. Составим золотую пропорцию деления полного угла, считая, что угол β – большая часть этой величины. 360: β= β:(360- β) Получаем квадратное уравнение: β β = 0. Положительный корень β=-180+ ( )=180(-1+ 5)=180*1,236=222,48 а=360 0 – 222,48 0 = 137, Таким образом,величина среднего углового отклонения ветки соответствует меньшей из двух частей, на которые делится полный угол при золотом сечении.

1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13, 8/21, 13/34... (1) Вспомним, что ряд Фибоначчи – это следующая последовательность чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, (2) Сравнивая (1) и (2) нетрудно увидеть, что дроби в последовательности (1) образуются числами Фибоначчи, взятыми через одно число.

.

3/8.

5/13.

Список литературы. 1)Ю.Ф Виппер «Золотое деление, как основной морфологический закон в природе и искусстве». 2)Г.Е. Финеринг «Золотое сечение». 3)«Энциклопедический словарь юного математика». 4)Н.Н. Васютинский «Золотая пропорция». 5)И.М. Смирнова «Уроки стинеометрии в гуманитарных классах». 6)Интернет.