Похідна. Фізичний і геометричний зміст похідної.

диференційованість Похідна та диференційованість функції Функція f має в точці x похідну: Фізичний зміст похідної:Геометричний зміст похідної: Функція f диференційована в точці x: в точці x: Функція f неперервна в точці x Арифметичні операції над диференційованими функціями u I v: диференційованими функціями u I v: Похідна складеної функції y=f(u), u=ф(x): Похідна оберненої функції x=ф(y): Таблиця похідних Похідні вищого порядку:

І.Ньютон сформулював дві основні проблеми математичного аналізу: 1). Довжина шляху, який долається, є постійною(тобто в будь-який момент часу); необхідно знайти швидкість руху у пропонований час; 2). Швидкість руху постійно дана; необхідно знайти довжину пройденого у запропонований час шляху.

1). Задача про миттєву швидкість: 2). Задача про знаходження змінного струму, який проходить по провіднику:

3). Друга похідна: (t)

4). Приклад:

Висновок:

під редакцією М.І.Сканаві.

Тіло масою m0 рухається прямолінійно за законом S(t)= αt2 +βt+ λ α, β, λ –сталі Довести, що сила яка діє на тіло стала Задача

Доведення: F=m 0 a a(t)=V(t)=S(t); S(t)=( α t 2 + βt+ λ)=2 α t+β; a(t)=S(t)=(2 α t+ β)=2 α ; a(t)=2 α, α =const;

Сила, що діє на тіло – стала.

Задача Тіло масою m 0 рухається прямолінійно за законом Довести, що сила, яка діє на тіло, пропорційна кубу пройденого шляху.

Доведення F=m 0 a;

Сила, що діє на тіло, пропорційна кубу пройденого шляху.

N дотична січна M Дотичною до кривої в даній точці M, називається граничне положення січної MN, коли точка N прямує вздовж кривої до точкиM.

y x k - кутовий коефіцієнт k - кутовий коефіцієнт рівняння дотичної до графіка функції в точці з абсцисою.

геометричного змісту похідної геометричного змісту похідної

1) Обчисліть, якщо кут між дотичною проведеної до графіка функції у точці з абсцисою і додатнім напрямом осі OX, дорівнює. Розвязання

2) До графіка функції проведено дотичну у точці з абсцисою. Обчисліть тангенс кута нахилу дотичної до додатнього напрямку осі абсциса. Розвязання

3) На малюнку зображено графік функції і дотичну до нього в точці з абсцисою. y x 1 1 Розвязання Знайти значення

4) На малюнку зображений графік функції та дотичні до нього в точках. Користуючись геометричним змістом похідної, знайдіть. y x0 Розвязання

5) Знайдіть, при яких значеннях параметра а дотична до графіка функції у точці з абсцисою проходить через точку N(3;4). Розвязання

y 1 =k 1 x +b 1, k 1 =k 2, y 1 IIy 2 y 2 =k 2 x +b 2,

y 1 =k 1 x +b 1, <=> k 1 ·k 2 = -1, <=> y 1 I y 2 y 2 =k 2 x +b 2,

Задача 1 На параболі y= 4- X вибрано дві точки з абсцисами x= -1 і x=3. Через ці точки проведено січну. Знайти рівняння дотичної до параболи, яка паралельна січній.

Розв'язання 1) y = kx + b – рівняння січної Дана січна проходить через точки : (-1;3), (3;-5) Складаємо рівняння січної: 3 = -k + b; 8= -4k, -5 =3k + b; k= -2, то b=1 y= -2x +1 – рівняння січної

2)y=f(x0) + f '(x0)(x-x0) – рівняння дотичної f(x0)=4 - x02; f '(x0)= -2x0; y =4- x02 - 2x0(x-x0), y = -2x0x +x02 + 4,

3) y 1 =kx +b 1, y 2 =k 2 x +b 2, k 1 =k 2 <=> y 1 ||y 2 4)За умовою паралельності прямих, маємо : -2x 0 = -2 x 0 =1. Отже, y = -2x-3 - шукане рівняння дотичної.

Записати рівняння дотичної до графіка функції f(x)= -x 2 +4, яка перпендикулярна до прямої x-2y+2=0. Записати рівняння дотичної до графіка функції f(x)= -x 2 +4, яка перпендикулярна до прямої x-2y+2=0. Задача 2 Задача 2

Розв'язання Розв'язання y = f(x 0 ) +f '(x 0 )(x-x 0 ), f (x 0 ) = -x , f '(x 0 ) = -2x 0, y= -x x 0 (x-x 0 ), y= -2x 0 x +x рівняння дотичної y= 0,5x +1 - рівняння прямої перпендикулярної до дотичної

y 1 =k 1 x +b 1 і y 2 =k 2 +b 2 k 1 · k 2 = -1 y 1 I y 2

За умовою перпендикулярності прямих маємо : За умовою перпендикулярності прямих маємо : якщо k 1 = -2x 0, k 2 =0,5,то -2x 0 ·0,5= -1,x 0 =1. якщо k 1 = -2x 0, k 2 =0,5,то -2x 0 ·0,5= -1,x 0 =1. Отже, y= -2x+5 - шукане рівняння дотичної Отже, y= -2x+5 - шукане рівняння дотичної

Задача 3 Знайти величину кута між двома дотичними проведеними з точки (0;-1) до графіка функції y=x 2.

Задача 4 Знайти площу трикутника, утвореного бісектрисами координатних кутів і дотичної до кривої y= в точці М(3;2)