Ломаная Фигура, состоящая из множества точек и соединяющих их отрезков. Точки называются вершинами ломаной. Отрезки называются звеньями ломаной.

Простая ломаная Ломаная называется простой, если она не имеет самопересечений.

Длина ломаной Длиной ломаной называется сумма длин ее звеньев. Длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего ее концы.

Замкнутая ломаная Ломаная называется замкнутой, если у нее концы совпадают.

Многоугольником называется замкнутая ломаная, соседние звенья которой не лежат на одной прямой. Вершинами многоугольника называются вершины ломаной. Сторонами многоугольника называются звенья ломаной.

Диагональ многоугольника Отрезки, соединяющие не соседние вершины многоугольника, называются диагоналями многоугольника.

Плоский многоугольник Плоским многоугольником называется конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником.

Выпуклый многоугольник Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону.

Сумма внутренних углов многоугольника 180(n-2), где n – количество сторон Доказательство : Возьмем точку внутри многоугольника и соединим ее со всеми вершинами, получим n количество треугольников (сумма всех углов треугольника 180n), углы при вершине точки О 360°. Чтобы найти сумму углов многоугольника, необходимо и достаточно 180n – 360 = 180(n-2). Ч.Т.Д.

Сумма внешних углов многоугольника 180n - 180(n-2) = 360, где n – количество сторон Доказательство : Сумма внутреннего угла многоугольника и смежного с ним внешнего равна 180°. Поэтому сумма всех внутренних и внешних углов равна 180n. Но сумма всех внутренних углов равна 180 (n-2). Значит, сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, равна 180n - 180(n-2) = 360. Ч.Т.Д.

Правильный многоугольник Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны и углы равны.

Построение правильных многоугольников.

Формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей, где n - число сторон правильного многоугольника, а - сторона

Формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей n = 3n = 4n = 6 R r

Решение задач

1 Сколько диагоналей у п – угольника?

2 Найти сумму углов выпуклого: а) пятиугольника; б) девятиугольника.

3 Сколько углов имеет выпуклый n-угольник, если сумма его внутренних углов равна: а) 1260 градусам; б) 1980 градусам.

4 Может ли в n-угольнике сумма его внутренних углов равняться: а) 360 градусам; б) 1280 градусам.

5 Сумма углов выпуклого многоугольника в два раза меньше суммы внешних углов, взятых по одному при каждой вершине. Найти число сторон этого многоугольника.

6 Сумма углов выпуклого многоугольника равна сумме его внешних углов, взятых по одному при каждой вершине. Найти число сторон этого многоугольника.

7 Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если его внешние углы прямые?

8 Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, у которого все углы равны, если сумма его внешних углов с одним из внутренних равна 468 градусам?

9 Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его внутренних углов с одним из внешних равна 1125 градусам?

10 Через каждую вершину выпуклого многоугольника проходит 4 диагонали. Найти число сторон многоугольника.

11 Существует ли пятиугольник со сторонами 3 см, 4 см, 6 см, 8 см и 20 см? (устно)

12 Существует ли выпуклый многоугольник, сумма углов которого равна 810 градусам?

13 Сколько углов имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен 135 градусам?

14 Найти высоту правильного треугольника, если его сторона равна а.

15 Внутренние углы выпуклого десятиугольника равны. Найти внешний угол этого многоугольника.

16 Найти количество диагоналей выпуклого многоугольника, сумма внутренних углов которого равна 3600 градусам.

17 Найти сумму внутренних углов многоугольника, если у него 170 диагоналей.

18 Доказать, что у четырехугольника, описанного около окружности, суммы длин противолежащих сторон равны

19 Углы выпуклого четырехугольника пропорциональны числам 1, 2, 3, 4. Найти их.

20 Сколько сторон имеет правильный многоугольник, каждый из внешних углов которого равен: 1) 36 градусам 2) 24 градусам (Янкович Благое)

21 Сколько сторон имеет правильный многоугольник, каждый из внутренних углов которого равен: 1) 135 градусам 2) 150 градусам

22 1. Какой треугольник является правильным? 2. Какой четырехугольник является правильным? 3. Какой выпуклый четырехугольник является равносторонним, но не является правильным? 4. Назовите величину угла при любой вершине правильного треугольника, четырехугольника, пятиугольника, n – угольника. 5. Назовите величину внешнего угла при любой вершине правильного треугольника, четырехугольника, пятиугольника, n – угольника.