Производная и ее применение Выполнила : Федотова Анастасия

Содержание Вспомогательный материал Дифференцирование функций Приложения первой производной Приложения второй производной Исследование функций

Вспомогательный материал Понятие предела в точке Приращение функции, приращение аргумента

Дифференцирование функций Определение производной Таблица дифференцирования Правила дифференцирования

Приложения первой производной Нахождение промежутков монотонности Нахождение экстремумов функции ( первое, второе правила ) Правило Лопиталя - Бернулли Физический смысл первой производной Геометрический смысл первой производной

Приложения второй производной Выпуклость и вогнутость графика функции Нахождение точек перегиба

Исследование функций Схема исследования функций

Понятие предела в точке Число b называется пределом функции при x, стремящемся к a, если для любого положительного числа можно указать такой интервал, содержащий точку x=a, что всюду внутри него, за исключением, быть может, самой точки x=a, будет выполняться неравенство :

Свойства предела функции в точке 1. Предел константы равен самой этой константе : 2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: 3. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов этих функций:

4. Предел произведения функция равен произведению пределов этих функций : 5. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций, если только предел делителя не равен нулю: 6. Первый замечательный предел: Предел функции в точке x=0 существует и равен единице:

Определение 1: Пусть функция определена в точках и. Разность называют приращением аргумента. Определение 2: Разность называют приращением функции. Итак,, значит,. (или ), значит, Пример Приращение функции, приращение аргумента

Определение 3: Функция называется непрерывной в области, если она непрерывна в каждой точки этой области. Определение 4: Функция называется непрерывной в точке, если. Определение 5: Функция называется непрерывной в точке, если в точке выполняется следующее условие:, то. Пример

Определение производной Рассмотрим задачи, приводящие к понятию производной функции Задача 1 (о скорости прямолинейного движения): Путь, пройденный телом за время t выражается законом S=S(t). Найти скорость движения тела в момент времени t. Зададим t, приращение 1. Рассмотрим промежуток времени 2. Найдем путь, пройденный за время 3. Найдем среднюю скорость движения тела за время : 4. Найдем скорость движения в момент времени t:

Подводя итог разобранным задачам, сформулируем четкое определение производной функции в точке.

Алгоритм отыскания производной для функции y=f(x) 1. Зафиксировать значение x, найти f(x). 2. Дать аргументу x приращение, перейти в новую точку, найти 3. Найти приращение функции :. 4. Составить отношение. 5. Вычислить предел. Этот предел и есть.

Формулы дифференцирования основных функций

Основные правила дифференцирования Пусть,,, тогда справедливы следующие правила : Доказательство Следствие:

Доказательство

Нахождение промежутков монотонности

Знак углового коэффициента показывает, наклонена ли касательная вверх или вниз, а с ней идет ли вверх или вниз и сама кривая (см. рис.3). В отдельных точках касательная при этом может оказаться и горизонтальной, что отвечает обращению производной в нуль.

Нахождение экстремумов функции (первое, второе правила).

Первое правило экстремума. Точка является точкой максимума функции Точка является точкой минимума функции

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a;b]. 1. Найти область определения функции. 2. Найти производную функции. 3. Приравнять производную к нулю. 4. Определить точки минимума и максимума, используя первое правило экстремума.

Правило Лопиталя-Бернулли

Исаак Ньютон (1643 – 1727) «Когда величина является максимальной или минимальной, в этот момент она не течет ни вперед, ни назад.» Физический (механический) смысл производной

Физический (механический) смысл производной

Геометрический смысл производной «Если продолжить одно из маленьких звеньев ломаной, составляющей кривую линию, то эта продолженная таким образом сторона будет называться касательной к кривой.» Гийом Франсуа Лопиталь ( )

Геометрический смысл производной

Выпуклость и вогнутость графика функции

Точки перегиба Пример

Механическое значение второй производной.

Правило 1 доказано. Доказательство :

Правило 2 доказано. Доказательство :

Доказательство : Правило 3 доказано.

Доказательство : Теорема Лагранжа

Теорема Лагранжа

Найти точки выпуклости, вогнутость и точки перегиба функции Решение. Найдем производную второго порядка для функции

Составим таблицу

Найти экстремумы и построить график функции

Построим график данной функции

Пример Для функции найти : а) приращение функции при переходе от фиксированной точки x к точке ; б) предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Решение. а)Имеем: Итак, для заданной линейной функции получили:

Пример Функция непрерывна на всей числовой прямой, за исключением точки. Действительно, и, Если, получаем, что, а вообще не существует.