Простейшие тригонометрические неравенства МОУ ВСОШ 1 г.Каменка 2012 г Челбаева Вера Александровна

Простейшими тригонометрическими неравенствами называют неравенства вида

Рассмотрим решения неравенств вида:

Решите неравенство

Шаг 1 y P(1;0) 0 x

Шаг 2 y x P(1;0) 0

Шаг 3 y x P(1;0) 0 M2M2 M1M1

Шаг 4 y x P(1;0) 0 M1M1 M2M2

Шаг 5 y x P(1;0) 0 M2M2 M1M1

Шаг 6 y x P(1;0) 0 M2M2 M1M1 Р(1;0) -> М 1 при повороте на угол: t 1 = –π/3, а также на углы: – π/3 + 2 πn, n = ±1; ±2… Р(1;0) -> М 2 при повороте на угол: t 2 = π/3, а также на углы: π/3 + 2 πn, n = ±1; ±2…

Шаг 7 y x P(1;0) 0 M2M2 M1M1 Р(1;0) -> М 1 при повороте на угол: t 1 = –π/3, а также на углы: – π/3 + 2 πn, n = ±1; ±2… Р(1;0) -> М 2 при повороте на угол: t 2 = π/3, а также на углы: π/3 + 2 πn, n = ±1; ±2… -π/3 t π/3

Шаг 8 y x P(1;0) 0 M2M2 M1M1 Р(1;0) -> М 1 при повороте на угол: t 1 = –π/3, а также на углы: – π/3 + 2 πn, n = ±1; ±2… Р(1;0) -> М 2 при повороте на угол: t 2 = π/3, а также на углы: π/3 + 2 πn, n = ±1; ±2… Все решения данного неравенства – множество промежутков -π/3 + 2πn t π/3 + 2πn, n – целое число. -π/3 t π/3

Шаг 9 y x P(1;0) 0 M2M2 M1M1 Все решения данного неравенства – множество промежутков -π/3 + 2πn t π/3 + 2πn, n – целое число. Ответ: -π/3 + 2πn t π/3 + 2πn, n – целое число. Ответ: [-π/3 + 2πn; π/3 + 2πn], n – целое число.

Решите неравенство

Шаг 1 y P(1;0) 0 x

Шаг 2 y x P(1;0) 0

Шаг 3 y x P(1;0) 0 M1M1 M2M2

Шаг 4 y x P(1;0) 0 M1M1 M2M2

Шаг 5 y x P(1;0) 0 M1M1 M2M2

Шаг 6 y x P(1;0) 0 M1M1 M2M2 Р(1;0) -> М 2 при повороте на угол: t 2 = 5π/3, а также на углы: 5π/3 + 2 πn, n = ±1; ±2… Р(1;0) -> М 1 при повороте на угол: t 1 = π/3, а также на углы: π/3 + 2 πn, n = ±1; ±2… t 2 = 2π – π/3 = 5π/3

Шаг 7 y x P(1;0) 0 M1M1 M2M2 Р(1;0) -> М 2 при повороте на угол: t 2 = 5π/3, а также на углы: 5π/3 + 2 πn, n = ±1; ±2… Р(1;0) -> М 1 при повороте на угол: t 1 = π/3, а также на углы: π/3 + 2 πn, n = ±1; ±2… π/3 < t < 5π/3

Шаг 8 y x P(1;0) 0 M1M1 M2M2 Р(1;0) -> М 2 при повороте на угол: t 2 = 5π/3, а также на углы: 5π/3 + 2 πn, n = ±1; ±2… Р(1;0) -> М 1 при повороте на угол: t 1 = π/3, а также на углы: π/3 + 2 πn, n = ±1; ±2… π/3 < t < 5π/3 Все решения данного неравенства – множество интервалов π/3 + 2πn < t < 5π/3 + 2πn, n – целое число.

Шаг 9 y x P(1;0) 0 M1M1 M2M2 Все решения данного неравенства – множество интервалов π/3 + 2πn < t < 5π/3 + 2πn, n – целое число. Ответ: π/3 + 2πn < t < 5π/3 + 2πn, n – целое число. Ответ: (π/3 + 2πn; 5π/3 + 2πn), n – целое число.

Неравенство cost a 0 x y a t1t1 2π-t 1 1

Неравенство cost > a 0 x y a t1t1 -t 1 1

Решите неравенство

Шаг 1 y P(1;0) 0 x По определению sin t – это ордината точки единичной окружности.

Шаг 2 y x P(1;0) 0 На оси ординат отметим точку ½ и выколем ее, т.к. неравенство – строгое.

Шаг 3 y x P(1;0) 0 Через данную точку проведем прямую, параллельную оси Ох. Эта прямая будет пересекать окружность в 2-х точках, ординаты которых равны ½. Полученные точки выколем, т.к. их ординаты не меньше, а равны ½. М2М2 М1М1

Шаг 4 y x P(1;0) 0 На оси Оу выделим все точки, ординаты которых меньше ½, но больше или равны -1. М2М2 М1М1

Шаг 5 y x P(1;0) 0 Множество всех точек единичной окружности, ординаты которых меньше ½, образуют дугу, выделенную на рисунке. М2М2 М1М1

Шаг 6 y x P(1;0) 0 Р(1;0) -> М 1 при повороте на угол t 1 = π/6, а также на углы: π/6 + 2 πn, n = ±1; ±2… Р(1;0) -> М 2 при повороте на угол: t 2 = –7π/6, а также на углы: – 7π/6 + 2 πn, n = ±1; ±2… М2М2 М1М1 Возьмем t 1 = arcsin1/2 = π/6. Рассмотрим обход дуги от точки М 1 к точке М 2 по часовой стрелке. Тогда t 2 < t 1 и t 2 = –π–arcsin1/2 = –π–π/6 = –7π/6.

Шаг 7 y x P(1;0) 0 Р(1;0) -> М 1 при повороте на угол t 1 = π/6, а также на углы: π/6 + 2 πn, n = ±1; ±2… Р(1;0) -> М 2 при повороте на угол: t 2 = –7π/6, а также на углы: – 7π/6 + 2 πn, n = ±1; ±2… М2М2 М1М1 -7π/6 < t < π/6 Решения данного неравенства:

Шаг 8 y x P(1;0) 0 М2М2 М1М1 -7π/6 < t < π/6 Все решения данного неравенства – множество интервалов -7π/6 + 2πn < t < π/6 + 2πn, n – целое число.

Шаг 9 y x P(1;0) 0 М2М2 М1М1 Все решения данного неравенства – множество интервалов -7π/6 + 2πn < t < π/6 + 2πn, n – целое число. Ответ: -7π/6 + 2πn < t < π/6 + 2πn, n – целое число. Ответ: [-7π/6 + 2πn; π/6 + 2πn], n – целое число.

Неравенство sint a 0 x y a 3π-t13π-t1 t1t1 1

Неравенство sint > a 0 x y a t1t1 π-t 1 1

Решите неравенство

y x P(1;0) 0 А(1;1) Т l Ответ: (-π/2 + πn; π/4 + πn), n – целое число.

Алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств 1. Построить единичную окружность. 2. Отметить число а на соответствующей оси Провести прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную оси, на которой она расположена (sin t, cos t). - Провести луч из начала координат через полученную точку (tg t). 4. Отметить точки пересечения прямой с окружностью. 5. Определить дугу, точки которой удовлетворяют заданному неравенству. 6. Найти значение углов поворота, соответствующих полученным точкам. 7. Записать ответ, учитывая область значений, область определения и периодичность функции.