Спецкурс: теория вероятностей.

Цели и задачи. Цели и задачи данного спецкурса направлены на развитие логического и абстрактного мышления, умение критически мыслить, оценивая ту или иную ситуацию. Кроме этого целью спецкурса является подготовка к изучению данного раздела математики в высших учебных заведениях.

Программа спецкурса. Программа спецкурса включает в себя знакомство с элементами комбинаторики, с основными аксиомами и теоремами теории вероятностей, что позволит учащимся оперировать понятиями данного раздела математики и решать множество вероятностных задач.

Случай и закономерность. Мы говорим, что эксперимент зависит от случая, когда им правит авось. Это означает, что мы не знаем, каким законам он подчиняется. Если говорить о событиях массового характера, то можно выявить законы, по которым распределены те или иные события.

Знание основ теории вероятности позволяет в рамках математической теории по вероятностям простых событий вычислять вероятности более сложных событий.

Пример 1. Если в прогнозе погоды на завтра говорится, что вероятность дождя равна 0,3, что означает, что в прошлые годы в дни этого времени года при аналогичных показателях состояния атмосферы (температура и влажность воздуха, скорость и направление ветра, облачность и т.п.) дождь был примерно в 30% случаев.

Пример 2. При массовом производстве электрических лампочек или гвоздей 5% брака (в этом случае вероятность того, что выпускаемый экземпляр будет бракованным, равна 0,05) можно считать допустимо малым. Если же какая-либо бракованная деталь в сложном механизме может привести к аварии или катастрофе, связанной с человеческими жертвами, то в этом случае пренебрежимо малыми вероятностями надо считать те, значения которых не превосходят тысячных или миллионных долей единицы.

Пример 3. Если при игре в волейбол две команды хотят беспристрастно разыграть право первой подачи, то обычно подбрасывают монету. Поскольку шансы выпадения «орла» или «решки» одинаковы, то преимущество первой подачи достаётся одной из команд случайно, и предсказать заранее, какой команде «повезёт», невозможно. Однако если эти две команды встречаются много раз и каждый раз при жеребьёвке используется одна и та же монета, то примерно в половине случаев преимущество первой подачи получает одна команда, а в остальных играх – другая.

Применение диаграмм Венна для решения практических задач. Мы знаем, что 30% детей младшего возраста в определённой стране едят в школе чаще трёх дней в неделю, что 60% нравится каша и что с 20% происходит то и другое: они едят в школе и им нравится каша. Можем ли мы утверждать, что тот факт, что учащемуся нравится или не нравится каша, независим от того, ест ли он в школе или нет?

Решение. Если мы обозначим буквой С событие «он ест в школе», а буквой L – событие «ему нравится каша», то сможем вычислить вероятность следующих пересечений, используя диаграмму Венна: Вероятность того, что ребёнок ест в школе и ему не нравится каша: Вероятность того, что ребёнок не ест в школе, но ему нравится каша: Вероятность того, что ребёнок не ест в школе и ему не нравится каша:

Диаграмма Эйлера-Венна

Комбинаторика Комбинаторика-это раздел математики, в котором рассматриваются вопросы, о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям можно выполнить из заданных объектов. Объектами выступают цифры, люди, буквы. Задачи из этого раздела встречаются в школьном курсе. Знание элементов комбинаторики необходимо для решения задач по теории вероятностей.