МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Визуализация данных Визуализация данных Точечные оценки Точечные оценки Групповые характеристики Групповые характеристики Метод наибольшего правдоподобия Метод наибольшего правдоподобия Метод моментов Метод моментов Интервальные оценки Интервальные оценки Алгоритм нахождения доверительных интервалов Алгоритм нахождения доверительных интервалов Оценка а при известной дисперсии Оценка а при известной дисперсии Оценка а при неизвестной дисперсии Оценка а при неизвестной дисперсии Оценка среднего квадратического отклонения Оценка среднего квадратического отклонения Оценка вероятности события Оценка вероятности события Проверка статистических гипотез Проверка статистических гипотез

Генеральной совокупностью называют совокупность всех объектов, над которыми производят наблюдение. Выборочной совокупностью (выборкой) называют часть отобранных из генеральной совокупности объектов. Объёмом совокупности называют количество объектов в ней.

Способы отбора 1. Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части: а) простой случайный бесповторный отбор, б) простой случайный повторный отбор. 2. Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части: а) типический, б) механический, в) серийный. Комбинированный отбор.

Наблюдаемые значения x i называют вариантами. Последовательность вариант, записанных в возра- стающем порядке называют вариационным рядом. Частотой варианты называют число n i, показываю- щее сколько раз встречается данная варианта. Относительной частотой варианты называют отношение частоты к объёму выборки: w i =n i /n. Статистическим распределением выборки называ- ется перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой последовательно соединяют точки (x i, n i ). Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой последовательно соединяют точки (x i, w i ). Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы, а высоты равны отношению частоты попадания в данный интервал к длине интервала. Аналогично вводится понятие гистограммы относительных частот. Визуализация данных

Функция распределения случайной величины Х: F(x) = p(X

Выборочная характеристика (*) используемая для нахождения приближённого значения неизвестной генеральной характеристики, называет- ся её точечной статистической оценкой., 1. Несмещённость: 2. Эффективность: имеет наименьшую дисперсию среди других оценок. 3. Состоятельность: при увеличении объёма выборки стремится по вероятности к, то есть чем больше объём выборки, тем незначительнее отклонение от.

xixi x1x1 x2x2 … nini n1n1 n2n2 … Выборочная средняя: 2. Если u i = hx i для всех i, где h – некоторое число, то 1. Если u i = x i – c для всех i, где с – некоторое число, то

xixi x1x1 x2x2 … nini n1n1 n2n2 … Выборочная дисперсия: 2. Если u i = hx i для всех i, где h – некоторое число, то 1. Если u i = x i – c для всех i, где с – некоторое число, то D в (u) = D в (x) D в (u) = h 2 D в (x)

Исправленная выборочная дисперсия: Выборочное среднее квадратическое отклонение: Исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение:

1-ая группа: N 1 элементов 2-ая группа: N 2 элементов j-тая группа: N j элементов … … – групповые средние – групповые дисперсии D 1, D 2, … D в =D внгр +D межгр – внутригрупповая дисперсия – межгрупповая дисперсия

Метод максимального (наибольшего) правдоподобия Генеральная совокупность имеет распределение Пуассона 1. – вероятность события х Генеральная совокупность имеет нормальное распределение 2. – плотность распределения x 1, x 2, …, x n – выборка

I. Дискретное распределение p(x 1 ), …, p(x n ) – вероятности значений x 1, …, x n Пример. Распределение Пуассона II. Непрерывное распределение f(x) – плотность распределения Пример. Нормальное распределение, – известно

Алгоритм исследования на максимум функции правдоподобия – точка максимума

Метод моментов I. Оценка одного параметра Пример. Показательное распределение II. Оценка двух параметров Пример. Нормальное распределение

– точечная оценка Интервальной называют оценку, которая опреде- ляется двумя числами – концами интервала: – формулы для нахождения границ интервала по выборочным данным

Интервал, который содержит в себе неиз- вестный параметр с заданной вероятностью называют доверительным интервалом: При этом вероятность называют доверительной вероятностью или надёжностью оценки. Число называют точностью оценки.

1. Пусть Х – непрерывная случайная величина, F(x) – функция распределения, f(x) – плотность распределения (*) 2. Пусть плотность распределения f(x) – чётная функция (**) (***)

Алгоритм нахождения доверительных интервалов – случайная величинаиз (*) Уравнения для нахождения : или Вопрос: какой вид имеют функции F(x) и f(x) ?

Пусть генеральная совокупность имеет нормальное распределение 1. Задаём надёжность. 2. Находим точечную оценку:. 3. Находим доверительный интервал, то есть такое, что

Шаг1. Найдём такое число, что – случайная величина, имеющая нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией или Шаг 2.

Надо найти такой интервал, что Таким образом,. Доверительным интервалом является интервал:

Пусть генеральная совокупность имеет нормальное распределение 1. Задаём надёжность. 2. Находим точечную оценку:. 3. Находим доверительный интервал, то есть такое, что

Шаг 2. – случайная величина, имеющая распределение Стьюдента с (n-1) степенями свободы Шаг1. Найдём такое число, что

Надо найти такой интервал, что Таким образом,. Доверительным интервалом является интервал:

Пусть генеральная совокупность имеет нормальное распределение 1. Задаём надёжность. 2. Находим точечную оценку:. 3. Находим доверительный интервал, то есть такое, что

Шаг 2. – случайная величина, имеющая - распределение с (n-1) степенями свободы Шаг1. Найдём такое число, что

Доверительным интервалом является интервал: Надо найти такой интервал, что Таким образом,. Замечание: при имеем, но при

Шаг 2. Способ 2. Шаг1. Найдём такие числа и, что Доверительным интервалом является интервал:

Пусть производятся независимые испытания с неиз- вестной вероятностью р появления события А в каждом испытании. р – ? 2. Находим точечную оценку: m – число появлений события А при n испытаниях. 1. Задаём надёжность. 3. Находим доверительный интервал (р 1, р 2 ), то есть такие числа р 1 и р 2, что

w – случайная величина, имеющая нормальное распределение, причём и – случайная величина, имеющая нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией Шаг 1. Найдём такое t, что или

Шаг 2. Доверительным интервалом является интервал: (р 1, р 2 ), где

При больших значениях n (порядка сотен) и Доверительным интервалом является интервал:, где

Статистической гипотезой называется любое предположение о виде или параметрах неизвестного закона распределения. Проверяемую гипотезу называют нулевой (основной), обозначают её Н 0. Конкурирующей (альтернативной) называют гипо- тезу, которая противоречит нулевой, обозначают её Н 1. Задача: проверить, верна ли нулевая гипотеза Н 0 при альтернативной гипотезе Н 1 ?