Підготували: Бондарчук О., Сірий О.

§ Визначники Усі визначники незалежно від свого порядку, мають однакові властивості, тому їх краще всього демонструвати на прикладі визначника другого порядку: 1.Зміна всіх рядків стовпцями не змінює визначника. Така операція називається транспонуванням. Замінюємо перший рядок першим стовпцем, а другий рядок – другим стовпцем. Ця властивість означає, що над рядками і стовпцями можна виконувати однакові дії. 2.Заміна місцями двох рядків (стовпців) змінює знак визначника. Поміняємо місцями у визначнику стовпці:

3.Спільний множник вибраного рядка (стовпця) можна винести за знак визначника та навпаки, на спільний множник визначника можна помножити будь-який рядок чи стовпець: Наслідок: якщо рядок (стовпець) складається тільки з нулів, то визначник дорівнює нулю (к=0). 4.Якщо рядок (стовпець) є лінійною комбінацією будь – яких двох чи більше рядків (стовпців), то визначник дорівнює нулю. Якщо елементи одного рядка помножити на к1, а елементи другого рядка – на к2, то їх сума буде лінійною комбінацією. Пропорційність є частковим випадком лінійної комбінації (к1=к, к2=0). Наприклад, другий стовпець пропорційний першому. Тоді: Наслідок: Якщо два рядки (стовпці) однакові (к=1), то визначник дорівнює нулю.

5.Якщо рядок (стовпець) є сумою елементів, то визначник можна записати у вигляді суми визначників, у кожному з яких вибраний рядок (стовпець) буде складатися з елементів суми даного визначника. 6.Визначник не зміниться, якщо до вибраного рядка (стовпця) алгебраїчно додати інший рядок (стовпець), помножений на повне число. Додамо до другого стовпця визначника перший стовпець, помножений на к:

§ Мінори та алгебраїчні доповнення Мінором визначника називається визначник, одержаний з даного шляхом викреслювання рядка та стовпця елемента : З визначника порядку n можна знайти мінорів ( за числом елементів визначника ). Алгебраїчним доповненням називається мінор, взяти зі знаком плюс, якщо i+k – парне число або зі знаком мінус, якщо воно непарне. Визначник будь – якого порядку обчислюється за правилом Лапласа, згідно з яким визначник можна записати у вигляді суми по парних добутків елементів вибраного рядка (стовпця) на їх алгебраїчні доповнення:

Алгебраїчне доповнення – це визначник, порядок якого на одиницю менший за порядок визначника. Тому, згідно з правилом Лапласа для обчислення визначника порядку n треба обчислити n визначників порядку n-1. До кожного з них застосовується правило Лапласа доти, поки не одержимо визначники третього порядку, які вже можна обчислювати за правилом Саррюса. Отже, необхідно виконати великий об'єм непродуктивної роботи. Якби у визначнику у вибраному рядку всі елементи, крім дорівнювали нулю то за правилом Лапласа одержали б: тобто з одного визначника порядку n мали б тільки один визначник порядку n-1. За допомогою шостої властивості визначник перетворюють так, щоб у вибраному рядку (стовпці) були всі нулі, крім одного елемента, після чого використовують правило Лапласа.

Дії: від другого стовпця відняли перший, результат записали в другому стовбці. Далі від третього стовпця 2-й від 4-го відняли 3-й. Одержали в першому рядку одиниці. Повторне віднімання попереднього стовпця від наступного де є (перший стовпець не чіпаємо):

Визначник 4-го порядку розклали за правилом Лапласа по елементах першого рядка, а в одержаному визначнику 3-го порядку з першого стовпця винесли спільний множник k=-1. Обчислимо одержаний визначник за правилом Лапласа. У третьому стовпці є числа 4 і -4, тому додавання до другого рядка третього приведе до появи нуля в третьому стовпці. (до першого рядка додали другий)= За правилом Саррюса:

The End