Типы тригонометрических уравнений и методы их решения

Тригонометрическим уравнением называется уравнение, в котором переменная является аргументом переменная является аргументом одной или нескольких тригонометрических функций.

Тип 1 простейшие тригонометрические уравнения Метод решения С помощью числовой окружности

Тип 2 тригонометрические уравнения с одинаковыми тригонометрическими функциями одинаковых аргументов Метод решения Замена переменной

Метод решения - замена переменной Сделайте замену переменной. Решите полученное алгебраическое уравнение относительно новой переменной. Сделайте обратную замену и получите совокупность простейших тригонометрических уравнений.

Тип 3 тригонометрические уравнения с разными функциями одинаковых аргументов. Метод решения приведение к уравнению с одной тригонометрической функцией одного аргумента

Для приведения к уравнению с одной тригонометрической функцией одного аргумента: Для приведения к уравнению с одной тригонометрической функцией одного аргумента: используя тождества одного аргумента, приведите все функции к одной Используя основное тригонометрическое тождество, выразите функцию, стоящую в четной степени, через ко-функцию. или или в более сложных ситуациях

Если тригонометрическое уравнение является однородным уравнением относительно синуса и косинуса одинаковых аргументов, то 1. Проверьте является ли решение уравнения cosx = 0 решением уравнения cosx = 0 решением заданного уравнения. заданного уравнения. Если является, то запишите это решение. Если является, то запишите это решение. 2. Разделите уравнение почленное на косинус в степени уравнения. косинус в степени уравнения. 3. Замените sin x/cos x = tgx. 4. Решите полученное уравнение с одинаковыми функциями одинаковых аргументов одинаковыми функциями одинаковых аргументов

Если в уравнении кроме однородных относительно синуса и косинуса многочленов присутствуют числовые слагаемые, то Заданное уравнение можно привести к однородному уравнению с помощью тригонометрического разложения единицы: Заданное уравнение можно привести к однородному уравнению с помощью тригонометрического разложения единицы: 1 = sin 2 x + cos 2 x 1 = sin 2 x + cos 2 x 1 = (sin 2 x + cos 2 x) 2 1 = (sin 2 x + cos 2 x) 2 1 = (sin 2 x + cos 2 x) = (sin 2 x + cos 2 x) 3...

Если тригонометрическое уравнение является линейным относительно синуса и косинуса одинаковых аргументов, то есть имеет вид A sinx + B cosx = C, то уравнение можно привести к простейшему уравнению с помощью тождеств вспомогательного аргумента уравнение можно привести к простейшему уравнению с помощью тождеств вспомогательного аргумента

Если в тригонометрическое уравнение с разными функциями одинаковых аргументов входят только следующие комбинации тригонометрических функций: sinx ±cosx и sinx· cosx, то З Замените переменную: y = sinx ± cosx. П При этом y2 = (sinx ± cosx)2 y2 = sin2x + cos2x ± 2sinx ·cosx y2 = 1 ± 2sinx ·cosx sinx cosx = ± (y2 - 1)/2. Решите полученное алгебраическое уравнение относительно новой переменной y Сделайте обратную замену. Решите полученную совокупность линейных тригонометрических уравнений методом введения вспомогательного аргумента.

Если в уравнении встречаются только синус и косинус одинаковых аргументов c одинаковыми четными степенями, то есть имеют вид: sin 4 x ± cos 4 x; sin 6 x ± cos 6 x; sin 8 x ± cos 8 x, то РАЗУМНО ИСПОЛЬЗОВАТЬ: РАЗУМНО ИСПОЛЬЗОВАТЬ: * ВЫДЕЛЕНИЕ ПОЛНОГО КВАДРАТА. * ВЫДЕЛЕНИЕ ПОЛНОГО КВАДРАТА. * ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ. * ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ. * ТОЖДЕСТВА ДВОЙНОГО АРГУМЕНТА. * ТОЖДЕСТВА ДВОЙНОГО АРГУМЕНТА. * ТОЖДЕСТВА ПОНИЖЕНИЯ СТЕПЕНИ. * ТОЖДЕСТВА ПОНИЖЕНИЯ СТЕПЕНИ.

Тип 4 тригонометрические уравнения с разными функциями разных аргументов Метод решения приведение к уравнению с разными тригонометрическими функциями одного аргумента

Если в уравнении встречаются тригонометрические функции с разными, но кратными аргументами х, 2 х, 4 х,…, то Приведите все аргументы к одинаковым, используя тождества двойного аргумента и/или тождества понижения степени. Приведите все аргументы к одинаковым, используя тождества двойного аргумента и/или тождества понижения степени. Решите полученное уравнение с одинаковыми функциями одинаковых аргументов Решите полученное уравнение с одинаковыми функциями одинаковых аргументов

Если уравнение содержит тангенс половинного угла, то для его решения надо использовать универсальную подстановку. для его решения надо использовать универсальную подстановку. Универсальной подстановкой называется группа тождеств, выражающих все тригонометрические функции через тангенс половинного аргумента. Универсальной подстановкой называется группа тождеств, выражающих все тригонометрические функции через тангенс половинного аргумента.

Тип 5 Уравнения, допускающие разложение на множители основной метод решения: основной метод решения: 1. Используя метод группировки, разложить одночлены, входящие в состав уравнения, на множители. 2. Используя условие равенства произведения нулю, получите и решите совокупность простейших тригонометрических уравнений.

Три «закона» тригонометрии Закон 1:увидел сумму – делай Закон 1:увидел сумму – делай произведение произведение Закон 2:увидел произведение – делай сумму делай сумму Закон 3:увидел квадрат – понижай степень степень Закон 1:увидел сумму – делай Закон 1:увидел сумму – делай произведение произведение Закон 2:увидел произведение – делай сумму делай сумму Закон 3:увидел квадрат – понижай степень степень

Перед вами общая схема решения тригонометрических уравнений.

Попробуй решить sin x + sin 7x = sin 3x +sin 5x sin 2x sin 6x = cos x cos 3x sin x(1 + cos x)=1 + cos x + cos2x 4sin5x cos5x (cos4x – sin4x)= sin 4 x 1- cos 6x = tg 3x