Перпендикулярность прямой и плоскости

Перпендикулярные прямые в пространстве Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости Признак перпендикулярности прямой и плоскости Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

Взаимное положение прямой и плоскости a a aa a a

Гипотеза о связи параллельности и перпендикулярности прямых

Лемма: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. C M c a b A Дано: a b; ac Доказать: bc Доказательство:

Лемма: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. C M c a b A Дано: a b; ac Доказать: bc Доказательство: Проведем CM c, MAa. Так как ac, то AMC=90 ab (по условию) MAa.(по построению) } => MA b, MCc MAMC } => bc

Упражнение 1. Дано: в с, а с Верно ли: ав Ответ: Обоснование: Упражнение 2. Дано:, а с в с, а α, в α, с α Верно ли: ав Ответ: Обоснование: Верно ли утверждение, обратное ЛЕММЕ?

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. a а ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Утверждение (о пересечении перпендикуляра и плоскости) Если прямая перпендикулярна плоскости, то она ее пересекает Дано: a α Доказать: a α

а а 1 а 1 Теорема 19 (прямая): Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. Доказательство: Дано: a а 1 ; a Доказать: a 1

а а 1 а 1 х Теорема 19 (прямая): Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. Доказательство: Дано: a а 1 ; a Доказать: a 1 x Так как a, то a х. Значит по лемме а 1 х=> a 1

Теорема 19(обратная): Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. M c a b b1b1 Дано: a b Доказать: ab Доказательство: Через точку М прямой b проведем b1a, => b 1 Докажем, что b и b 1 совпадают Допустим, что они не совпадают. Тогда в плоскости через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой с но это невозможно. Значит аb.

Теорема 19(обратная): Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. M c a b b1b1 Дано: a b Доказать: ab Доказательство: Через точку М прямой b проведем b1a, => b 1 Докажем, что b и b 1 совпадают Допустим, что они не совпадают. Тогда в плоскости через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой с но это невозможно. Значит аb.

Теорема 20: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. Дано: aq, ap, q p =O q p Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

O L Q P B A p q m l a a Теорема 20: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. Дано: aq, ap, q p =O q p Доказать: a Доказательство: Проведем через точку О прямую l m. Отложим AO=OB (A,B a) Проведем прямую b пересекающую прямые l, p,q в точках L, P, Q AB q, AB p, AO=OB => q,p серединные перпендикуляры к АВ ABQ=BPQ (AP=PB, AQ=QB, PQ-общ) =>APL=BPQ ABL=BPL (AP=PB, APL=BPQ,PL-общ)=>AL=BL (AO=OB,AL=BL)=> lAB=>la (la, ml)=>ma=>a Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и при том только одна. Дано: Доказать: M, c M, Доказательство: Теорема 21 ( о существовании и единственности плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно к данной прямой. с

. M a b c Теорема 22 ( о существовании и единственности прямой, проходящей через данную точку перпендикулярной к плоскости. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и при том только одна. Дано: Доказать: M с, c M, Доказательство:

. M a b c Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и при том только одна. Дано: Доказать: M с, c M, Доказательство: Проведем в плоскости прямую а и рассмотрим плоскость М а. =b=b В плоскости проведем прямую сb с- искомая прямая Предположим, что через точку М проходит еще одна прямая с 1 Тогда с 1 с, это невозможно, так как с 1 с = М

Теорема 23 (прямая): Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой плоскости Доказательство: Дано: α α 1 ; a Доказать: a α1α1

Теорема 23 (обратная): Если прямая перпендикулярна к двух различным плоскостям, то эти плоскости параллельны Доказательство: Дано: Доказать: