Решение задачи на построение сечений состоит, обычно, из двух частей. Часть первая – само построение и описание построения. Часть вторая – доказательство того, что построенный многоугольник и есть искомое сечение.

В условиях задач на построение сечений обычно указывается несколько точек, принадлежащих сечению и/или дополнительные условия, которым должно соответствовать построенное сечение. Данные точки могут лежать на ребрах многогранника и/или на его гранях N M K M N K N принадлежит (ADB)

В том случае, если соединив данные в условии точки, мы получим многоугольник, все стороны которого будут лежать на гранях многогранника, сечение построено. N M K 1. M (ADC), N (ADC) => MN (ADC) 2. M (ADB), K (ADB) => MK (ADB) 3. K (BDC), N (BDC) => KN (BDC) MNK – искомое сечение. Но это может произойти только тогда, когда каждые две соединяемые нами точки лежат в одной грани.

Если же какие-нибудь две, из данных в условии, точки не лежат в одной плоскости, то, соединив их, мы получим отрезок лежащий внутри многогранника M N K Нет такой грани, в которой точки M и N (M и K) лежат вместе. Следовательно отрезок MN (MK) лежит внутри параллелепипеда. Значит треугольник MNK не является сечением. (см. особенность сечений 2) В таких случаях надо: 1) использовать все известные знания из теории; 2) Использовать дополнительные условия задачи; 3) Использовать специальные способы построения сечений.

В нашем случае мы должны вспомнить, что противоположные грани параллелепипеда параллельны. Следовательно, секущая плоскость пересечет их по параллельным прямым (особенность сечений 3). M N K Построение. 1. N (BB 1 C 1 ), K (BB 1 C 1 ) => NK (BB 1 C 1 ) A B1B1 A1A1 B C D D1D1 C1C1 2. (BB 1 C 1 ) // (AA 1 D 1 ) следовательно линии пересечения секущей плоскости с этими гранями будут параллельны. Секущая плоскость пересекает (BB 1 C 1 ) по прямой NK и имеет с плоскостью (AA 1 D 1 ) общую точку M. Следовательно, надо в плоскости (AA 1 D 1 ) через точку М провести прямую, параллельную NK.

M N K A B1B1 A1A1 B C D D1D1 C1C1 Т.к. проведенная прямая и прямая DD 1 лежат в одной плоскости, они пересекутся. Назовем точку пересечения – R. R 3. Теперь в грани DD 1 C 1 С есть две точки, принадлежащие плоскости сечения: K и R. Соединим их. 4.Т.к. грани DD 1 C 1 и AA 1 B 1 параллельны и М AA 1 B 1, то, аналогично п.2, проведем в плоскости AA 1 B 1 через точку М прямую, параллельную KR. Она пересечет прямую А 1 B 1 в точке S (аналогично п.3). S

M N K A B1B1 A1A1 B C D D1D1 C1C1 R S Теперь в верхней грани A 1 B 1 C 1 D 1 есть две точки сечения: S и N. Соединим их. MRKNS – искомое сечение.

Рассматривая две предыдущие задачи, мы не разделяли этапы построения и доказательства. Посмотрим, как лучше оформлять решение таких задач.

N M K Задача 1. Построить сечение тетраэдра, проходящее через точки M, N и K. 1. Построение 1. MN 2. NK 3. KN Докажем, что MNK - искомое сечение. 2. Доказательство 2. M (ADC), N (ADC) => MN (ADC). 3. M (ADB), K (ADB)=> MK (ADB). 4. K (BDC), N (BDC) => KN (BDC). 1. Точки M, N, K –принадлежат сечению. Следовательно, MNK – искомое сечение ч.т.д.

M N K A B1B1 A1A1 B C D D1D1 C1C1 R S Задача 2. Построить сечение параллелограмма, проходящее через точки M, N и K. 1. Построение 1. NK 2. В плоскости AA 1 D MR // NK, MR DD 1 =R 3. RK 4. В плоскости AA 1 B 1 MS // RK, MS A 1 B 1 =S 5. SN Докажем, что MRKNS – искомое сечение.

7. S (A 1 B 1 C 1 ), N (A 1 B 1 C 1 ) => SN (A 1 B 1 C 1 ) M N K A B1B1 A1A1 B C D D1D1 C1C1 R S 2. Доказательство 1. Точки M,N,K –принадлежат сечению. 2. Секущая плоскость пересекает параллельные грани AA 1 D 1 D и BB 1 C 1 C, AA 1 B 1 B и DD 1 C 1 C по параллельным прямым: MR // NK, MS // RK ( по построению). 3. K (BB 1 C 1 ), N (BB 1 C 1 ) => KN (BB 1 C 1 ). Следовательно, MRKNS – искомое сечение ч.т.д. 4. MR (AA 1 D) по построению 5. R (DD 1 C 1 ), K (DD 1 C 1 ) => RK (DD 1 C 1 ) 6. MS (AA 1 B 1 ) по построению

4. V (ADC), R (ADC) => VR (ADC). 3. S (ADB), P (ADB)=> PS (ADB), V (ADB) 2. S (BDC), R (BDC) => SR (BDC). R S Задача 3. Построить сечение тетраэдра, проходящее через точки R, S и P, P (ABD). P 1. Построение 1. SR 2. SP, SP AD = V 3. VR Докажем, что RSV - искомое сечение. 2. Доказательство 1. Точки R, S, P –принадлежат сечению. Следовательно, RSV – искомое сечение ч.т.д. V

Задание 2. Построить сечение, проходящее через указанные точки R K T Q T M M K L A A A1A1 A1A1 B B B1B1 B1B1 C1C1 C1C1 C C D1D1 D1D1 D D

М (ABC) М М К M (DD 1 C 1 ), K (AA 1) B S K S T T T A A A A1A1 A1A1 A1A1 B B B B1B1 B1B1 B1B1 C1C1 C1C1 C1C1 C C C D1D1 D1D1 D1D1 D D D