В предыдущих задачах для построения сечения нам оказалось достаточно знаний теории. Рассмотрим другую задачу.

Задача 1. Построить сечение тетраэдра, проходящее через точку М, параллельно плоскости ABD. M Одна точка нам ничем не поможет, но в задаче есть дополнительное условие: сечение должно быть параллельно плоскости ABD. Что это нам дает?

M 1. Плоскости ADB и DBC пересекаются по прямой DB, следовательно сечение, параллельное ADB, пересекает DBC по прямой, параллельной DB. (Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения параллельны) Точка М принадлежит грани DBC. Проведем через нее прямую MK, параллельную DB. K 2. Аналогично: (ADB) (ABC)=AB, следовательно сечение будет пересекать (ABC) по прямой, параллельной AB. K (ABC). Через точку K в плоскости ABC проведет прямую KN, параллельную AB. N

M K N N (ADC), M (ADC), следовательно MN (ADC) (и плоскости сечения). Проведем NM. MKN – искомое сечение.

M K N Итак: 1. Построение: 1. В плоскости (DBC) MK // DB, MK BC = K. 2. В плоскости (ABC) KN // AB, KN AC = N. 3. MN Докажем, что MKN – искомое сечение 2. Доказательство. 1. Сечение проходит через точку М 3. MK // DB, NK // AB по построению, следовательно (NMK) // (ABD) по признаку. Следовательно, MKN – искомое сечение ч.т.д. 2. N (ADC), M (ADC) => NM (ADC)

A A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 D C B M Задача 2. Постройте сечение параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, проходящее через середину ребра D 1 C 1 и точку D, параллельно прямой a. Рассуждения. 1. Отметим указанную в условии точку (назовем ее произвольным образом). M – середина D 1 C 1.

A A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 D C B M 2. Точки M и D лежат в одной плоскости DD 1 C 1, значит их можно соединить. Больше соединять нечего.

Проведем в плоскости ABC через точку D прямую DS, параллельную прямой a. DS AB = S. 3. Воспользуемся дополнительным условием: секущая плоскость должна быть параллельна прямой a. Для этого она должна содержать прямую, параллельную прямой a. Проще всего провести такую прямую в плоскости ABC, т.к. в ней лежат прямая a и точка D, принадлежащая сечению. M B1B1 C1C1 A D B C A1A1 S

A A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 D C B P M 5. Т.к. (DD 1 C 1 ) // (AA 1 B 1 ), то в плоскости (AA 1 B 1 ) можно через точку S провести прямую SN, параллельную DM. SN BB 1 = N SNPMD - искомое сечение. S N 6. Точки N и P лежат в плоскости (A 1 B 1 C 1 ). Соединим их. 4. Т.к. (ABC) // (A 1 B 1 C 1 ), проведем в плоскости (A 1 B 1 C 1 ), через точку M, прямую MP // SD. MP B 1 C 1 = P

A A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 D C B P M Докажем, что SNPMD - искомое сечение. S N Итак: 1. Построение. 1. MD 2. В (ABC), через точку D, DS // a, DS AB = S 3. В (A 1 B 1 C 1 ), через точку M, MP // DS, MP B 1 C 1 = P 4. В плоскости (AA 1 B 1 ), через точку S, SN // DM, SN BB 1 = N 5. NP

A A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 D C B P M Следовательно, SNPMD - искомое сечение ч.т.д. S N 2. Доказательство.1. Сечение проходит через точку D и середину ребра D 1 C 1 - точку M по построению. 2. DS // a, (S AB) по построению, следовательно (KNP) // a по признаку. 3. PM // SD, P B 1 C 1 по построению 4. SN // DM, N BB 1 по построению 5. P (BB 1 C 1 ), N (BB 1 C 1 ) => PN (BB 1 C 1 ).

Задача 3. Построить сечение параллелепипеда, параллельное B 1 A и проходящее через точки M и N. A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 A B D C N M Рассуждения.1. Соединим M и N (они лежат в плоскости (C 1 A 1 B 1 ) ). 2. Для того, чтобы секущая плоскость оказалась параллельна AB 1, нужно, чтобы в ней лежала прямая, параллельная AB 1 (или DC 1, т.к. DC 1 // AB 1 по свойству параллелепипеда). Удобнее всего изображать такую прямую в грани DD 1 C 1 C, т.к. (DD 1 C 1 ) // (AA 1 B 1 ), а AB 1 (AA 1 B 1 ). Больше соединять нечего. Воспользуемся дополнительным условием: секущая плоскость должна быть параллельна прямой B 1 A

A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 A B D C N M K 3. Теперь в плоскости AA 1 D 1 есть две точки, M и K, принадлежащие сечению. Соединим их. MNK – искомое сечение. Проведем в плоскости (DD 1 C 1 ) прямую NK // AB 1, NK DD 1 = K.

A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 A B D C N M K Итак: 1. Построение. 2. В плоскости (DD 1 C 1 ) NK // AB 1, NK DD 1 = K.. 1. MN 3. MK Докажем, что MNK – искомое сечение 2. Доказательство. 1. Сечение проходит через точки M и N. 4. Т.к. NK // AB 1 по построению, то (MNK) // AB 1 по признаку параллельности прямой и плоскости. Следовательно, MNK - искомое сечение ч.т.д. 2. M (A 1 B 1 C 1 ), N (A 1 B 1 C 1 ) => MN (A 1 B 1 C 1 ). 3. M (ADD 1 ), K (ADD 1 ) => MK (ADD 1 ).

Задание В тетраэдре DABC постройте сечение плоскостью, проходящей через середину ребра DC, вершину B и параллельной прямой AC. 2. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через середину ребра B 1 C 1 и точку K, лежащую на ребре CD, параллельной прямой BD, если DK : KC = 1 : 3. M 3. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки M и C, параллельно прямой a (рис. 1). рис.1

4. В параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точка E принадлежит ребру CD. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через эту точку и параллельной плоскости BC 1 D. 5. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через AA 1, параллельно MN, где M – середина AB, N – середина BC. 6. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через середину ребра B 1 C 1 параллельно плоскости AA 1 C 1.