МЕТОД СЛЕДА

Задача 1. Дано: N, K, T - точки, по которым секущая плоскость пересекает ребра тетраэдра, Построить сечение. B C D M N K А

A B C D M N K Точки N и K лежат в плоскости ADС, следовательно секущая плоскость пересекает ADC по прямой NK. Аналогично, секущая плоскость пересекает ABC по прямой KM, а плоскость ADB по прямой NM Плоскость NKM - искомая.

Чаще встречаются ситуации, когда известных точек не хватает, чтобы построить сечение. Задача 2. Дано: А, В, С -точки, по которым секущая плоскость пересекает ребра тетраэдра. Построить сечение. А В С S N M K

В А С Если мы соединим попарно 3 точки, как мы это делали в предыдущей задаче, то сечение не будет построено, т.к. отрезок ВС проходит внутри тетраэдра. Вывод: Правило 1. П ри построении сечения имеет смысл соединять только те точки, которые лежат в одной плоскости. S N M K

Посмотрим заново на условие задачи 2. А В С Согласно правилу 1, мы можем провести отрезки АВ и АС, т.к. точки А и В лежат в плоскости KSM, а точки A и C - в плоскости KSN. S N M K Нам осталось построить линии пересечения секущей плоскости с гранями SMN и MKN.

А У нас уже есть точка В - общая точка секущей плоскости и плоскости SMN. Но для того, чтобы провести прямую нам нужно две точки. Будем искать вторую. В С N M K S Больше ничего провести нельзя. Нет и дополнительных условий.

А S В С N M K АВ и КМ - прямые, лежащие в плоскости KSM. Значит, если мы мы их продлим, то они пересекутся. Т Рассмотрим точку их пересечения Т. Она лежит на прямой КМ, а значит и в плоскости основания KMN; кроме того, она лежит на прямой АВ, а значит и в секущей плоскости АВС. Но в плоскости основания у нас уже есть одна точка, принадлежащая плоскости сечения - точка С. Значит, мы можем их соединить.

Т.к. прямая ТС лежит в плоскости основания, то она пересечет прямую MN (в точке F). Отрезок FC принадлежит сечению. Кроме того, у нас теперь есть 2 точки на плоскости MSN: точки B и F. Мы можем их соединить. А K M N S Т С В F

А K M N S Т С В F CABF - искомое сечение.

А K M N S Т С В F 1.Построение. 1) AC 2) AB 3) В плоскости KSM AB KM = T 4) В плоскости KMN TC MN = F 5) В плоскости MNS FB Докажем, что CABF – искомое сечение. Итак:

А K M N S Т С В F 2. Доказательство. 1) A (KSN), C (KSN) => AC (KSN) 2) A (KSM), B (KSM) => AB (KSM) 3) AB (KSM), KM (KSM) следовательно, они пересекутся. 4) T KM; KM (KMN) => T (KMN) 5)T (KMN), C (KMN) => TC (KMN), следовательно они пересекутся; TC MN = F Следовательно, CABF – искомое сечение. 6) B (SMN), F (SMN) => BF (SMN) 7 ) Сечение проходит через точки A, B, C.

Задание 4. Построить сечение, проходящее через указанные точки R K T Q T M M K L A A A1A1 A1A1 B B B1B1 B1B1 C1C1 C1C1 C C D1D1 D1D1 D D

М ABC М М К M (DD 1 C 1 ), K (AA 1 D 1 ) S K S T T T A A A A1A1 A1A1 A1A1 B B B B1B1 B1B1 B1B1 C1C1 C1C1 C1C1 C C C D1D1 D1D1 D1D1 D D D