Разложение многочленов на множители. Учебная презентация. Обобщающий урок по теме «Разложение на множители» 7класс

Немного теории Разложить многочлен на множители значит представить его в виде произведения более простых многочленов. Существует несколько способов разложения: Вынесение общего множителя за скобки Вынесение общего множителя за скобки Способ группировки Способ группировки С помощью формул сокращенного умножения С помощью формул сокращенного умножения

Сначала убедимся в том что разложение на множители –вещь полезная. Вам предлагают решить уравнение 2х 2 +х-6=0. Для таких уравнений имеется специальное правило решения, но вы его пока еще не знаете. Как быть?

Воспользуемся разложением многочлена на множители: 2х 2 +х –6=(2х-3)(х+2) Тогда заданное уравнение можно переписать в виде: (2х-3) (х+2)=0 Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Значит, либо 2х-3=0, либо х+2=0. Из первого уравнения х=1,5, а из второго уравнения х=-2. Уравнение решено, оно имеет два корня: 1,5 и –2.

Рассмотрим другую ситуацию Пусть нужно найти значение числового выражения Самое эффективное решение – дважды воспользоваться формулой разности квадратов: = (53-47)(53+47) = 6100 = 6 = (61-39)(61+39) Разложение на множители позволило нам сократить дробь. Позднее мы оценим это и при выполнении действий с алгебраическими дробями.

Таким образом, разложение многочлена на множители используется для решения уравнений, для преобразования числовых и алгебраических выражений. Применяется оно и в других ситуациях, как, скажем, в следующем довольно трудном, но красивом примере, где ключ к успеху опять-таки в разложении на множители.

ПРИМЕР Доказать, что для любого натурального числа n выражение n 3 +3n 2 +2n делится без остатка на 6. Попробуйте его решить

Посмотрите, как легко это можно сделать Пусть p(n) = n 3 +3n 2 +2n. Если n=1, то p(1)=1+3+2=6. Значит, p(1) делится на 6 без остатка. Если n=2, то p(2)=2 3 +3·2 2 +2·2=8+12+4=24. Следовательно, и p(2) делится на 6 без остатка. Если n=3, то p(3)=3 3 +3·3 2 +2·3= =60. Поэтому и p(3) делится на 6 без остатка. Но вы же понимаете, что перебрать так все натуральные числа нам не удастся. Как быть? На помощь приходят алгебраические методы. Имеем: n 3 +3n 2 +2n=n(n+1)(n+2). В самом деле n(n+1)= n 2 + n, а (n 2 +n)(n+2)=n 3 +2n 2 +n 2 +2n=n 3 +3n 2 +2n. Итак, p(n) = n(n+1)(n+2), т.е. p(n) есть произведение трех идущих подряд натуральных чисел n, n+1, n+2. Но из трех таких чисел одно обязательно делится на 3, значит и их произведение делится на 3. Кроме того, по крайней мере одно из этих чисел – четное, т.е. делится на 2. Итак, p(n) делится и на 2, и на 3, т.е. делится на 6. Все прекрасно, скажите вы, но как догадаться, что n 3 +3n 2 +2n= n(n+1)(n+2)? Ответ очевиден: надо учиться разложению многочленов на множители. К этому и перейдем.

Вынесение общего множителя за скобки Алгоритм отыскания общего множителя нескольких одночленов Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, - он и будет общим числовым множителем (разумеется, это относится только к случаю целочисленных коэффициентов) Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показатель степени Произведение коэффициента, найденного на первом шаге, является общим множителем, который целесообразно вынести за скобки.

Пример Разложить на множители: -x 4 y 3 -2x 3 y 2 +5x 2. Воспользуемся сформулированным алгоритмом. 1) 1) Наибольший общий делитель коэффициентов –1, -2 и 5 равен 1. 2) 2) Переменная x входит во все члены многочлена с показателями соответственно 4, 3, 2; следовательно, можно вынести за скобки x 2. 3) 3) Переменная y входит не во все члены многочлена; значит, ее нельзя вынести за скобки. Вывод: за скобки можно вынести x 2. Правда, в данном случае целесообразнее вынести -x 2. Получим: -x 4 y 3 -2x 3 y 2 +5x 2 =-x 2 (x 2 y 3 +2xy 2 -5).

Способ группировки Для уяснения сути способа группировки рассмотрим следующий пример: разложить на множители многочлен xy-6+3y-2y Первый способ группировки: xy-6+3y-2y=(xy-6)+(3x-2y). Группировка неудачна. Второй способ группировки: xy-6+3y-2y=(xy+3x)+(-6-2y)=x(y+3)-2(y+3)=(y+3)(x-2). Третий способ группировки: xy-6+3y-2y=(xy-2y)+(-6+3x)=y(x-2)+3(x-2)=(x-2)(y+3). Ответ: xy-6+3y-2y=(x-2)(y+3). Как видите, не всегда с первого раза группировка оказывается удачной. Если группировка оказалась неудачной, откажитесь от нее, ищите иной способ. По мере приобретения опыта, вы будете быстро находить удачную группировку.

Разложение многочлена на множители с помощью формул сокращенного умножения Вспомните эти формулы: a 2 -b 2 =(a-b)(a+b); a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2 ); a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 ); a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2 ; a 2 -2ab+b 2 =(a-b) 2. Первую из этих формул можно применять к выражению, представляющему собой разность квадратов (безразлично чего – чисел, одночленов, многочленов), вторую и третью – к выражению, представляющему собой разность (или сумму) кубов; последние две формулы применяются к трехчлену, представляющему собой полный квадрат, т.е. содержащему сумму квадратов двух выражений и удвоенное произведение тех же выражений.

Примеры Разложить на множители: 1) x 6 -4a 4. Воспользуемся первой формулой (разность квадратов): x 6 -4a 4 =(x 3 ) 2 -(2a 2 ) 2 =(x 2 -2a 2 )(x 3 +2a 2 ). 2) a 6 +27b 3. Воспользуемся третьей формулой (сумма кубов): a 6 +27b 3 =(a 2 ) 3 +(3b) 3 =(a 2 +3b)((a 2 ) 2 -a 2 ·3b+(3b) 2 )= =(a 2 +3b)(a 4 -3a 2 b+9b 4 ). 3) a 2 -4ab+4b 2. В этом примере дан трехчлен, для его разложения на множители будем пользоваться пятой формулой, если, конечно, убедимся в том, что трехчлен является полным квадратом: a 2 -4ab+4b 2 =a 2 +(2b) 2 -2·a·2b=(a-2b) 2. Мы убедились, что трехчлен содержит сумму квадратов одночленов a и 2b, а также удвоенное произведение этих одночленов. Значит, это полный квадрат, причем квадрат разности.

Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов В математике не так часто бывает, чтобы при решении примера применялся только один прием, чаще встречаются комбинированные примеры, где сначала используется один прием, затем другой и т.д. Чтобы успешно решать такие примеры, мало знать сами приемы, надо еще уметь выработать план их последовательного применения. Иными словами, здесь нужны не только знания, но и опыт. Вот такие комбинированные примеры мы и рассмотрим.

Пример 1 Разложить на множители многочлен 36a 6 b 3 -96a 4 b 4 +64a 2 b 5 1) Сначала займемся вынесением общего множителя за скобки. Рассмотрим коэффициенты 36, 96, 64. Все они делятся на 4, причем это – наибольший общий делитель, вынесем его за скобки. Во все члены многочлена входит переменная a (соответственно a 6, a 4, a 2 ), поэтому за скобки можно вынести a 2. Точно так же во все члены многочлена входит переменная b (соответственно b 3, b 4, b 5 ) – за скобки можно вынести b 3. Итак, за скобки вынесем 4a 2 b 3. Тогда получим: 36a 6 b 3 -96a 4 b 4 +64a 2 b 5 =4a 2 b 3 (9a 4 -24a 2 b+16b 2 ). 2) Рассмотрим трехчлен в скобках: 9a 4 -24a 2 b+16b 2. Выясним, не является ли он полным квадратом. Имеем: 9a 4 -24a 2 b+16b 2 =(3a 2 ) 2 +(4b) 2 -2·3a 2 ·4b. Все условия полного квадрата соблюдены, следовательно, 9a 4 -24a 2 b+16b 2 =(3a 2 -4b) 2. 3) Комбинируя два приема (вынесение общего множителя за скобки и использование формул сокращенного умножения), получаем окончательный результат: 36a 6 b 3 -96a 4 b 4 +64a 2 b 5 =4a 2 b 3 (3a 2 -4b) 2.

Пример 2 Разложить на множители x 4 +x 2 a 2 +a 4 Применим метод выделения полного квадрата. Для этого представим x 2 a 2 в виде 2x 2 a 2 -x 2 a 2. Получим: x 4 +x 2 a 2 +a 4 =x 4 +2x 2 a 2 -x 2 a 2 +a 4 = =(x 4 +2x 2 a 2 +a 4 )-x 2 a 2 = =(x 2 +a 2 ) 2 -(xa) 2 =(x 2 +a 2 +xa).

Сначала воспользуемся тем, что n можно вынести за скобки: n(n 2 +3n+2). Теперь к трехчлену n 2 +3n+2 применим способ группировки, предварительно представив 3n в виде 2n+n. Получим: n 2 +3n+2=n 2 +2n+n+2=(n 2 +2n)+(n+2)= =n(n+2)+(n+2)=(n+2)(n+1). Окончательно получаем: n 2 +3n+2=n(n+1)(n+2). Пример 3 Разложить на множители n 3 +3n 2 +2n

Первый способ. Представим –6x в виде суммы –x-5x, а затем применим способ группировки: x 2 -6x+5=x 2 -5x+5=(x 2 -x)+(-5x+5)=x(x-1)-5(x-1)=(x-1)(x-5). Тогда заданное уравнение примет вид: (x-1)(x-5)=0, откуда находим, что либо x=1, либо x=5. Второй способ. Применим метод выделения полного квадрата, для чего представим слагаемое 5 в виде 9-4. Получим: x 2 -6x+5=x 2 -6x+9-4=(x 2 -6x+9)-4= =(x-3) =(x-3-2)(x-3+2)=(x-5)(x-1). Снова пришли к уравнению (x-1)(x-5)=0, имеющему корни 1 и 5. Ответ: 1, 5. Пример 4 Решить уравнение x 2 -6x+5=0

Сокращение алгебраических дробей Алгебраической дробью называется отношение двух многочленов P и Q. При этом используют запись P Q

Тождества a 2 -b 2 =(a-b)(a+b); x 2 -4x+4=(x-2) 2 ; (a+b)c=ac+bc. Написанные равенства верны при любых значениях входящих в их состав переменных. Такие равенства называют тождествами. Левую и правую часть тождества называют выражениями, тождественно тождественно равными равными. Замену одного выражения другим, тождественным ему, называют тождественным преобразованием преобразованием выражения. Определение. Тождество Тождество – это равенство, верное при любых допустимых значениях входящих в его состав переменных.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Мы Мы ввели новые (для вас) понятия понятия математического языка: разложение многочлена на множители; алгебраическая дробь, сокращение алгебраической дроби; тождество, тождественно равные выражения, тождественное преобразование выражения. Вы Вы познакомились со следующими приемами разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки; группировка; использование формул сокращенного умножения; выделение полного квадрата.