Числовые множества 4. Какие виды чисел использует современная математика Ознакомившись с материалом данной презентации, вы узнаете: 1. Что такое аксиома, теорема, система аксиом 2. Как и почему расширяются системы аксиом, почему развивается наука 3. Как расширялось у людей представление о числах на протяжении истории

1. Понятие, определение, аксиома, теорема, система аксиом Вспомним для начала, с чего начинается курс школьной геометрии. «Ядром» геометрии являются: 1) два основных понятия («точка», «прямая»); 2) аксиомы (9 утверждений типа «Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие прямой и не принадлежащие ей»); 3) три основных отношения («лежит», «между», «принадлежит»). На этой вот основе и строится вся геометрия! Каким образом? Сейчас покажу! Как формируются определения из понятий? Понятие – это образ, который существует в голове изучающего геометрию. В геометрии всего два основных понятия – точка и прямая точка прямая Определение – это разъяснение о каком-то объекте, которое всегда основано на понятиях и ранее данных определениях Итак, все определения геометрии основаны на понятиях точка, прямая, отношениях лежит, между, принадлежит! Определение отрезка: Отрезок – это множество точек на прямой, лежащих между двумя точками, принадлежащими этой прямой. Эти точки называются концами отрезка. (определение основано на понятиях: точка, прямая, отношениях лежит, между, принадлежит) Определение треугольника: Треугольник – это три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, концами которых являются эти точки (определение основано на понятиях точка, прямая, отношении лежит, определениях отрезка и концов отрезка)

1. Понятие, определение, аксиома, теорема, система аксиом В чем разница между аксиомой и теоремой? Теорема – это утверждение, которое доказывается на основе аксиом и ранее доказанных теорем При доказательстве теорем можно пользоваться ТОЛЬКО аксиомами и ранее доказанными теоремами. Никакими другими утверждениями, даже если они кажутся очевидными, пользоваться нельзя Точно так же, когда мы даем определение, можно пользоваться только основными понятиями (точка, прямая) и определениями, которые мы уже дали раньше. Таким образом, наука геометрия формируется так: Аксиомы, основные понятия, основные отношения Теоремы и определения Аксиома – это утверждение, которое очевидно и потому принимается на веру, без доказательства, точно так же как и основные понятия. В планиметрии существует 9 аксиом точка прямая Основные отношения «лежит», «между», «принадлежит» 9 аксиом Основные понятия Что такое формальная (формализованная) система, или система аксиом? Формальная система – это система аксиом, основных понятий и основных отношений, которая существует в любой науке, в том числе алгебре, геометрии, физике, химии, биологии и т.д. Графически можно изобразить следующие схемы: И т.д. для любой науки!

2. Как и почему происходит развитие науки В любой науке рано или поздно происходит следующее: Наука сталкивается с таким явлением реального мира, которое необъяснимо, т.е. неразрешимо в данной системе аксиом. Иными словами, в области теорем и определений обнаруживается внутреннее противоречие (для примера возьмем физику): Что необходимо сделать, чтобы устранить возникшее противоречие? Необходимо пересмотреть ядро науки, то есть ее систему аксиом: Как это случилось в физике? Сначала Ньютон предполагал, что масса тела никак не зависит от скорости тела, т.е. с какой бы скоростью (2 км/ч, 10 км/ч, км/ч) тело ни двигалось, его масса остается постоянной. Это было одной из аксиом физики. Но наука физика столкнулась с явлениями, которые не соответствовали этому представлению о мире. Возникло противоречие. Оно было устранено Альбертом Эйнштейном, который пересмотрел прошлую систему аксиом и предложил более новый свой вариант. Противоречия устранились, наука физика расширилась. Но новые противоречия возникнут все равно… И противоречия будут возникать в любой системе аксиом. Это строго математически доказано.

3. Как расширяется представление у людей о числах? b раз Пусть нам дана система аксиом, основными понятиями которой являются: 1) ряд натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5… 2) действие сложения (обозначается +). Мы можем сказать, что 2+3=5, 4+4=8 и т.д. Это все на основе аксиом. Дадим определение умножению (обозначается *). Числом a*b называется число а+а+…+а. На основе данного определения можно сказать, что 4*3=12, 5*8=40 и т.д. Дадим определение вычитанию (обозначается - ). Числом a-b называется такое число с, что b+c=a. На основе данного определения можно сказать, что 5-3=2 (т.к. 2+3=5); 4-3=1 (т.к. 1+3=4) и т.д. А сколько будет 3-5? В нашей системе аксиом есть только натуральные числа, помните? Поэтому ответа на этот вопрос в нашей системе аксиом нет. Возникло противоречие: Что необходимо сделать, чтобы устранить противоречие? Пересмотреть систему аксиом!

3. Как расширяется представление у людей о числах? Необходимо ввести понятие ЦЕЛЫХ чисел (под ЦЕЛЫМИ понимаются положительные и отрицательные), при этом изменив систему аксиом: Заменили понятие натуральных чисел более широким понятием целых чисел, таким образом устранив противоречие: теперь можем сказать, что 3-5=-2. То есть, вычитание определено на множестве ЦЕЛЫХ чисел, но не определено на множестве НАТУРАЛЬНЫХ. При этом в новой системе неизбежно возникает новое противоречие. Дадим определение делению. Числом a:b называется такое число с, что b*c=a. Как вы уже догадались, мы сможем сказать, сколько будет 4:2 или 6:3, но при попытке задуматься, сколько будет 7:4, мы придем к противоречию. На рисунке вверху оно обозначено как «Новое противоречие, связанное с делением». Для устранения необходимо опять-таки пересмотреть нашу систему аксиом и ввести новое понятие – рациональные числа. Тогда можем сказать, что 7:4=7/4 (семь четвертых). Напоминаю, что такое РАЦИОНАЛЬНЫЕ числа: это такие, которые можно представить в виде m/n, где m и n – целые. В нашей системе аксиом тогда основным понятием окажутся рациональные числа.

3. Как расширяется представление у людей о числах? На множестве рациональных чисел возникает противоречие, связанное с извлечением квадратного корня. Так, например, если мы попытаемся извлечь квадратный корень из 2 или из 3, то рационального числа мы не получим, то есть опять противоречие. Придется ввести понятие ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ чисел (к которым относятся корень из 2, корень из 3, отношение длины окружности к диаметру и т.д.) РАЦИОНАЛЬНЫЕ и ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ числа составляют ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ. На множестве ДЕЙСТВИЕЛЬНЫХ чисел возникает противоречие, связанное с извлечением квадратного корня из отрицательных чисел. Так, например, точно так же, как до 6 класса «нельзя было» отнять 3-5, до сих пор вам «нельзя было» извлечь квадратный корень из –4 и из любого отрицательного числа. Для устранения этого противоречия необходимо ввести новое основное понятие – новый вид чисел. Эти числа называются комплексными. Мнимой единицей (обозначается i) называется квадратный корень из –1. Комплексным числом называется число вида a+bi, где a и b – действительные. Таким образом, квадратный корень из –1 равен i, квадратный корень из –4 равен 2i и т.д. Противоречие разрешено путем введения нового вида чисел. Мнимая единица и комплексное число являются основными понятиями. На множестве комплексных чисел определены действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня. Противоречие, конечно, возникает и здесь. Но рассмотрение его выходит за рамки данной презентации.

4. Какие виды чисел использует современная математика? Мы рассмотрели в презентации следующие виды чисел: 1. НАТУРАЛЬНЫЕ (множество натуральных чисел обозначается N) 2. ЦЕЛЫЕ (множество целых обозначается Z) 3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ (множество рациональных чисел обозначается R) 4. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ (множество иррациональных обозначается I) 5. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (это множество получено объединением РАЦИОНАЛЬНЫХ и ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ чисел, обозначается D) 6. КОМПЛЕКСНЫЕ числа, содержащие в себе мнимую единицу і, которая является квадратным корнем из –1. Эти виды чисел используются в современной математике. Причем комплексные числа включают в себя все остальные виды чисел. Это множество чисел наиболее широкое, хотя и оно также может расширяться. В математике есть раздел – теория чисел, который занимается вопросами расширения числовых множеств.