Раздел 5 Уравнения и неравенства

Тема 5.1 Уравнения

5.1.1 Линейные уравнения

Уравнение называется линейным, если переменные входят в него только в первой степени. Линейное уравнение с одной переменной: kx + b = 0 Решение: kx = - b

kx + b = 0 Графическая интерпретация у = kx + b - линейная функция. Решение уравнения - абсцисса точки пересечения графика с осью х. у = kx + b x y у = kx + b = 0

Пример 1. Решить уравнение 2 х – 3 = 0 1 способ. Аналитический 2 способ. Графический 2 х = 3 х = 3/2 х = 1,5 х 02 у-31 x y 12 х = 1,5

1. Решить уравнения а) 5 х + 12 = 27 ; б) ; в) 2. При каком х значение выражения 14 х – 2 в два раза больше значения выражения 5 х + 5 ?

Задачи 1. Отцу и сыну вместе 35 лет. Сколько лет сыну, если он на 25 лет младше отца ? 2. В доме 215 квартир. Трехкомнатных на 10 меньше, чем двухкомнатных, но на 5 больше, чем однокомнатных. Сколько в доме однокомнатных квартир ?

3. Летело стадо гусей. А навстречу ему один гусь. И говорит: "Здравствуйте, сто гусей!" Они ему отвечают: "Нас не сто гусей, а кабы было еще столько, да полстолько, да четвертьстолько, да ты бы, гусь, с нами, то и было бы нас сто гусей". Сколько их летело?

4. На вопрос, сколько у него учеников, Пифагор отвечал: «Половина моих учеников изучает математику, четверть – природу, седьмая часть пребывает в безмолвии, остальную часть составляют три девы». Сколько учеников было у Пифагора ?

5. Надпись на гробнице древнего математика Диофанта: Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать Могут, о чудо, сколь долог был век его жизни. Часть шестую его представляло прекрасное детство. Двенадцатая часть протекла еще жизни - покрылся Пухом тогда подбородок. Седьмую в бездетном браке провел Диофант. Прошло еще пятилетие - он Был осчастливлен рожденьем прекрасного первенца сына, Коему рок половину лишь жизни прекрасной и светлой Дал на земле по сравненью с отцом, И в печали глубокой Старец земного удела конец воспринял, переживши Года четыре с тех пор, как сына лишился... Скажи, сколько лет жизни достигнув, смерть воспринял Диофант?

6. В психиатрической больнице есть главный врач и много сумасшедших. В течении недели каждый сумасшедший один раз в день кусал кого-нибудь (возможно и себя). В конце недели оказалось, что у каждого из больных по два укуса, а у главного врача - сто укусов. Сколько сумасшедших в больнице?

5.1.2 Дробно-линейное уравнение

Дробно-линейное уравнение Решение: ax + b = k (cx + d) ax + b = kcx + kd ax – kcx = kd – b (a – kc)x = kd - b a, b, c, d, k – числа

Частный случай Если k = 0, то ax + b = 0 1. Решить уравнения а) ; б) ; в)

5.1.3 Квадратное уравнение

ax 2 +bx + c = 0 D = b 2 -4ac Решение: два корня: один корень: D > 0 D = 0 D < 0 решений нет

1. Решить уравнения а) x 2 – 4x + 3 = 0; б) x 2 – 4x + 4 = 0; в) x 2 – 4x + 5 = 0; г) x 2 – x = 12; д) x 2 – 60 = 11 х;

ax 2 +bx + c = 0 Решение: Частные случаи 1) а = 0 2) b = 0ax 2 +bx + c = 0 - неполное квадратное уравнение ax 2 + c = 0 c > 0 – решений нет с < 0, т.е. ax 2 - c = 0 - линейное уравнение Пример: х 2 – 25 = 0; (х – 5)(х + 5) = 0; x 1 = - 5; x 2 = 5

ax 2 +bx + c = 0 Решение: Частные случаи 3) с = 0 x (ax + b) = 0 x = 0 или ax + b = 0 ах = - b

2. Решить уравнения а) x2 – 49 = 0; б) 5x 2 – 125 = 0; в) 4 x 2 – 64 = 0; г) 0,8 x 2 – 0,2 = 0;

Задачи 1. Найдите три последовательных числа, таких что квадрат среднего на 1 больше произведения двух остальных.

Задачи 2. Задача Бхаскары (индийский математик XII века) Стая обезьян забавлялась. Число их, равное квадрату восьмой части, бегало в лесу. Остальные двенадцать кричали на верхушке холма. Сколько было обезьян?

Задачи 3. Квадрат пятой части обезьян, уменьшенной на три, спрятался в гроте; одна обезьяна, влезшая на дерево, была видна. Сколько было обезьян?

Показательное уравнение

a х = b Показательное уравнение Для решения уравнения нужно привести обе части к одинаковому основанию, т. е. представить b в виде a n. Тогда a х = a n x = n Пример: 2 x = 8; 2 x = 2 3 ; x = 3

1. (1 уровень) а) 2 x = 16; б) 2 3x = 8; в) 2 5x-3 = 16; г) 2 4x-5 = 64; д) 3 2x-4 = 27; е) 37 x = 1; Решить уравнения 2. (2 уровень) а) б) в) г)

3. (3 уровень) а) 2 x x-2 = 34; Решить уравнения б) 2 x x = 96; в) 7 x - 7 x-1 = 6; г) 2 x x x-3 = 896; д) 5 4 х-3 – 45 4 х х+1 = x x 2 -2 = 34; 2 x x 1/4 = 34; 2 x (4 + 1/4) = 34; 2 x 17/4= 34; 2x = 8;2x = 8; 2 x = 2 3 ; х = 3;х = 3;

Логарифмическое уравнение

log a х = b Логарифмическое уравнение Решение: x = а b Пример: log 2 (3 – x) = 0 ; 3 - x = 2 0 ; x = 2. a > 0, a 1, b > 0 ! x > x = 1; - x = 1 - 3; - x = - 2; 3 - x > 0; Проверка: 3 – 2 > 0 - верно 1. Решить уравнения а) log 3 (2x – 4) = 2 ; в) log 1/3 (3 – 2x) = - 2; б) log 0,3 (5 + 2x) = 1 ; г) lg(3 – x) = 0.

1. Решить уравнения а) log 3 (2x – 4) = 2 ; в) log 1/3 (3 – 2x) = - 2; б) log 0,3 (5 + 2x) = 1 ; г) lg(3 – x) = а) lg x = lg 3 + lg 5 ; log a M + log a N = log a MN lg x = lg (3 ּ 5) ; lg x = lg (15) ; x = 15 x > 0 Проверка: 15 > 0 - верно 2 б) lg x + lg 3 = lg 27 – lg 9 ; в) lg x – lg 3 = lg 5 – lg x; г) lg (x – 1) + lg 2 = lg (3 – x);

2 б) lg x + lg 3 = lg 27 – lg 9 ; в) lg x – lg 3 = lg 5 – lg x; г) lg (x – 1) + lg 2 = lg (3 – x); д) lg x + 2 ּ lg2 = lg 5 + lg 4; е) lg x – 2 = 2 ּ lg bּlog a M= log a M b

5.1.6 Тригонометрическое уравнение

Арксинусом числа а называется число из, синус которого равен а : t = arcsin a, если sin t = a Например,, т.к. Например,, т.к. Арккосинусом числа а называется число из, косинус которого равен а : t = arccos a, если cos t = a

Арктангенсом числа а называется число из, тангенс которого равен а : t = arctg a, если tg t = a Например,, т.к. Например,, т.к. Арккотангенсом числа а называется число из, котангенс которого равен а : t = arcctg a, если ctg t = a

Решение тригонометрических уравнений I.Уравнение: cos t = a |a| 1 Решение: t = ± arccos a + 2πn, n Z II.Уравнение: sin t = a |a| 1 Решение: t = (-1) n ּ arcsin a + πn, n Z III.Уравнение: tg t = a Решение: t = arctg a + πn, n Z IV.Уравнение: ctg t = a Решение: t = arcctg a + πn, n Z

Пример 1. Пример 2. Пример 3.

Частные случаи cos t = 1t = 2πn cos t = - 1t = π + 2πn cos t = 0t = π/2 + πn sin t = 1t = π/2 + 2πn sin t = - 1t = - π/2 + 2πn sin t = 0t = πn

Тема 5.2 Системы уравнений

5.2.1 Системы линейных уравнений

Методы решения: I.Метод подстановки II.Метод объединения III.Метод сложения IV.Метод определителей V.Метод графический

1:

I.Метод подстановки Ответ: (1; -1)

II.Метод объединения Ответ: (1; -1)

III.Метод сложения Ответ: (1; -1) +

IV.Метод определителей Ответ: (1; -1) -

V.Метод графический Ответ: (1; -1) х 04 у х 04 у х 04 у-5/31 х 04 у-2/5-14/5

2: 3:

Задачи 1. Лошадь и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине. Лошадь жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу. «Что ты жалуешься? – отвечал ей мул. – Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинакова с моей». Сколько мешков нес каждый?

Задачи 2. В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно только, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Сколько фазанов и сколько кроликов в клетке?

По тропинке вдоль кустов Шло одиннадцать хвостов. Насчитать я также смог, Что шагало тридцать ног. Это вместе шли куда-то Индюки и жеребята. А теперь вопрос таков: Сколько было индюков? Спросим также у ребят: Сколько было жеребят? 3. Задачи

Когда учитель подсчитал в классе носы девочек и уши мальчиков, то их оказалось 41. Когда он подсчитал уши девочек и носы мальчиков, то их оказалось 43. Сколько в классе мальчиков? Сколько девочек? 4. Задачи

5. Для экскурсии нужно собрать деньги. Если каждый сдаст по 750 руб., то на расходы не хватит 4400 руб. А если по 800 руб., то останется лишних 4400 руб. Сколько человек участвует в экскурсии?

Задачи 6. Учитель приготовил тетрадные листы для проведения контрольной работы. Если учитель даст каждому ученику по 2 листа, то 12 листов будут лишними, а если даст каждому по 3 листа, то 16 листов не хватает. Сколько учеников в классе? Сколько листов подготовил учитель?

Задачи 7. Расстояние между двумя пристанями равно 84 км. Это расстояние катер по течению проплыл за 3 часа, а против течения за 3,5 часа. Найти собственную скорость катера и скорость течения

Задачи 8. За 3 ч автобус преодолевает такое же расстояние, какое проедет поезд за 2 ч.Туристы ехали 4 ч на автобусе и 3 ч на поезде, а всего они проехали 408 км. Найти скорость автобуса и скорость поезда

5.2.2 Системы квадратных уравнений

1: а) б) методом сложения

в) а аb + b 2 = (a + b) 2

2: а) б) методом подстановки

в) г) методом подстановки

5.2.3 Системы показательных уравнений

1: 2:

3: 4: введением замены

5.2.4 Системы логарифмических уравнений

1: 2:

3: 4: введением замены

5.2.5 Системы тригонометрических уравнений

1: методом подстановки

2:

3: методом сложения +-+-

4:

5: 6: 7:

Тема 5.3 Неравенства, системы неравенств

Элементарные неравенства Неравенство Интервал Множество решений x > 2(2 ; +) x -1[-1 ; +) x < 5(-; 5) x 3(-; 3] 2 < x < 5(2; 5) -1 x 3[-1; 3] -3 < x -1 (-3; -1] x 2 x x 5 x 3 x 25 x 3 x -3

5.3.1 Линейное неравенство

Линейное неравенство ax + b > 0 Решение: ax > - b a > 0a < 0 x Ответ: x

Правила работы с неравенствами 1. К правой и левой части можно одновременно прибавлять (вычитать) одно и то же число. Знак неравенства при этом не изменяется. 2. Правую и левую часть можно умножать (делить) на одно и то же число. Если число положительное – знак неравенства не изменяется; отрицательное – изменяется. 3. Неравенства одинакового смысла можно почленное складывать.

1. Решить неравенства а) 16 – 3 х 0; б) 6 х – 18 > 0; в) 3x – 6 > 0; г) 5 х + 12 < 27 ; 2. Найти допустимые значения переменной: а); б); в) ; г) ;

5.3.2 Системы линейных неравенств

Система неравенств: Совокупность неравенств: Решением является пересечение множеств решений неравенств. Решением является объединение множеств решений неравенств.

Пример 1. Решение: x Ответ: ( 1 / 2 ; 2)

Пример 2. Решение: x Ответ: (-; + )

Пример 3. Двойное неравенство эквивалентно системе неравенств:

1. а)б) а) б)

4. Найти допустимые значения переменной: а); б); в) ; г) ;

5.3.3 Дробно-линейное неравенство

~ ~ cx + d 0 !

~ ~ xxx Ответ: (- ; -0,5) U (3 ; +)

д); е) ; ж) ; 2. а); б); в) ; г) ;

5.3.4 Системы дробно-линейных неравенств

~ (1)(1) (2)(2) 1)1)

Метод интервалов

Алгоритм 1. Разложить на множители 2. Отметить корни 3. Расставить знаки 4. Записать ответ x (-; -3] U (0; 2] U (4; +)

1. 1.

2. 2.

Квадратные неравенства

Квадратное неравенство ax 2 + bx + c 0 I способ. Метод интервалов Решить уравнение ax 2 +bx+c=0. х 1, х 2 – корни Переписать неравенство в виде: а(х - х 1 )(х - х 2 ) 0 Решить это неравенство методом интервалов

Квадратное неравенство ax 2 + bx + c 0 II способ Решить уравнение ax 2 +bx+c=0. х 1, х 2 – корни Изобразить схематически параболу y=ax 2 +bx+c Выбрать интервалы, где парабола расположена выше (ниже) оси х.

a > 0a < 0 x х 2 х 2 х 1 х 1 x х 2 х 2 х 1 х 1 x х 1 х 1 x х 1 х 1 xx 2 корня 1 корень нет корней

1. 1. Одна сторона прямоугольника на 7 м больше другой. Какой может быть эта сторона, если площадь прямоугольника меньше 60 м 2 ? а) б) в) г) д) 2.

Системы квадратных неравенств

а) б) в) Укажите допустимые значения переменной а)б)

Показательные неравенства

Показательное неравенство a > 10 < a < 1

Примеры. 1. а) б) (2 ; +) x > 2 x > 3 в) (-; -2) x < - 2 (3 ; +) а)б) в) д)г)е) ж) з)

Системы показательных неравенств

1. 1. а) б)

Логарифмические неравенства

Логарифмическое неравенство a > 10 < a < 1

Пример. 1. Ответ: (3/4 ; +) а) б) в) г) д)

Системы логарифмических неравенств

2. ~ (1) (2)

Тригонометрические неравенства

1. x 1 y О 1/2 Ответ: 1 способ

1. Ответ: 2 способ 1/2

2. x 1 y О 1/2 Ответ:

3. x 1 y О 1/2 Ответ:

4. x 1 y О 1/2 Ответ:

5. x 1 y О Ответ: 1

6. x 1 y О Ответ: 1

Системы тригонометрических неравенств

Системы смешанных неравенств