СТАТИСТИЧЕСКАЯ АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ Камай А.М., магистрантка ММФ БГУ Научный руководитель: Профессор, доктор физ.-мат. наук. Кротов В.Г.

Содержание: Введение ВведениеВведение Статистическая автомодельность Статистическая автомодельность Статистическая автомодельность Статистическая автомодельность Модели со свойствами автомодельности Модели со свойствами автомодельности Модели со свойствами автомодельности Модели со свойствами автомодельности Применение ФБДПрименение ФБДПрименение ФБДПрименение ФБД Результат и заключение Результат и заключение Результат и заключение Результат и заключение

Введение Одним из широко распространенных примеров модели со свойствами самоподобия является фрактальное броуновское движение (ФБД). В рамках системного подхода задача анализа рынка формулируется как задача построения некоторой системы, позволяющей, исходя из наблюдаемого процесса изменения цены, оценивать закономерности движения рынка в каждый конкретный момент времени и обеспечивать аналитическую поддержку для принятия торговых решений.

Введние Наиболее общим выражением, описывающим любое поведение рынка, является формальная модель, задаваемая формулой: St = Xt + Nt, где St изменение цены во времени, Xt некоторый процесс, описывающий значимые для наблюдателя и его целей движения рынка, обычно характеризуемые как тренды или тенденции (определенное движение цены в том или ином направлении), обычно это большие медленные движения; Nt некоторая компонента, описывающая несущественные с точки зрения целей наблюдателя тенденции изменения цен, обычно это так называемый ценовой шум рассматриваемые с точки зрения решаемой задачи, как некоторая помеха

Статистическая автомодельность Случайный процесс {Xt}t0 со значениями тв R называется автомодельным (самоподобным), или удовлетворяющим свойству (статистической) автомодельности, если для каждого a > 0 можно найти такое b > 0, что для t 0 Law(Xat) = Law(bXt), Если Если b = aH, {Xt}t0, то это автомодельный процесс с показателем Харста H. E (Xt) = 0, E (XsXt) = min(s, t).

Статистическая автомодельность Классическим примером автомодельного процесса является броуновское движение {Xt}t0. Для этого (гауссовского) процесса E (Xt) = 0, E (XsXt) = min(s, t).

Модели со свойствами автомодельности Фрактальное броуновское движение A(s, t) = |s|2H + |t|2H |t s|2H,s, t R cov(Xs,Xt)=1/2A(s,t) Фрактальное броуновское движение {Xt}t0 удовлетворяет следующим свойствам, которые можно также принять в качестве определения этого процесса: 1.X0 = 0, E (Xt) = 0 для всех t 0; 2. X имеет стационарные приращения: Law(Xt+s Xs) = Law(Xt),s, t 0; 3. X является гауссовским процессом 4. X имеет непрерывные траектории. Из этих свойств снова следует, что фрактальное броуновское движение обладает свойством автомодельности.

Применение ФБД Нахождение параметра H в модели ФБД log arms(X ) = c + H log |t| Построим алгоритм HCALC, который вычисляет параметр H одномерного фрактального броуновского движения(см. след. слайд)

Применение ФБД Внешние функции: функция STD вычисления среднеквадратичного отклонения; функция вычисления МНК-прямой. Вход: X (вектор, представляющий ФБД); L (длина X) Выход: H (параметр ФБД) Инициализация: pmax = 10 (максимальная длина приращения) Шаги: for p=1 to p=pmax for i=1 to i=L - pmax dX(i)=X(i+p)-X(i) end for s(p)=STD(dX(i),i=1 to i=L-pmax) ; ξ(p) = log(p); η(p) = log(s(p)) end for Найти МНК-прямую по точкам (ξ(p), η(p)), p = 1,..., pmax H = угловой коэффициент МНК прямой.

Применение ФБД В качестве примера использования алгоритма HCALC для анализа практической задачи рассмотрим график заключительных цен на акции компании Лукойл (Россия) для 575 последовательных биржевых дней годов. Соседние точки на графике соединены отрезками прямых. Мы исследуем эту реализацию с целью установить, насколько хорошо она может быть смоделирована при помощи фрактального броуновского движения.

Применение ФБД

Результат и заключение Найдем значение параметра H с помощью алгоритма HCALC. Значение H, полученное по зависимости log arms(X ) от log |t|, равно H 0, , а значение σ 0, Вычислив параметр H, наша реализация может быть смоделирована при помощи ФБД. Можно сделать вывод, что заключительная цена в нашем примере совершает гауссовское случайное блуждание. Математическое ожидание суточных приращений равно E(|Xt+1 Xt|) = 1, 414.

Конец презентации.