§4. Производная.

Основные правила дифференцирования. Если функции u и v дифференцируемы в точке х 0, то их сумма дифференцируема в этой точке и (u + v) / = u / + v / ( ПРОИЗВОДНАЯ СУММЫ РАВНА СУММЕ ПРОИЗВОДНЫХ ) С / = 0 Производная постоянного числа С равна 0.

Основные правила дифференцирования. Если функции u и v дифференцируемы в точке х 0, то их произведение дифференцируемо в этой точке и (uv) / = u / v + uv / Если функции u дифференцируема в точке х 0, а С – постоянная, то функция Сu дифференцируема в этой точке и (Сu) / = Сu /

Основные правила дифференцирования. Если функции u и v дифференцируемы в точке х 0, а функция v не равна нулю в этой точке, то частное u/v также дифференцируемо в х 0 и 2. Производная степенной функции. Для любого целого n и любого х (х 0 при n1) (x n ) / = nx n-1

а) f(x) = x 5 ; б) f(x) = 3x -8 – 6; в) f(x) = а) (x 5 ) / = 5 х 5-1 = 5 х 4 ; б) (3x -8 – 6) / = (3x -8 ) / - 6 / = 3·(-8) х = -24 х -9 ; в) Найдите производные функций.

а) f(x) = ; б) f(x) =. а) ; б) ; Найдите производные функций.

Решение примеров. 1. Найдите производные функций. a) f(x) = 5 х - 2; b) f(x) = x 2 + х 3 ; c) f(x) = x х 3 – х +5; d) f(x) = x х х – 1. Замечание. При решении используйте 1 правило.

Решение. a) f(x) = 5 х - 2 f / (х) = (5 х – 2) / = 5 (т. к. х / = 1, 2 / =0 или (kx+b) / = k ) б) f(x) = x 2 + х 3 f / (х) = (x 2 + х 3 ) / = 2 х х 3-1 =2 х+3 х 2 в) f(x) = x х 3 – х +5 f / (х) = (x х 3 – х +5) / = =8 х ·3 х 3-1 – 1+0 = = 8 х х 2 – 1 г) f(x) = x х х - 1 f / (х) =(x х х - 1) / = =7x 7-1 – 4·(-5)х – 0 = =7x х

Решение примеров. 2. Найдите производные функций. a) f(x) = х 2 ·(х – 3); b) f(x) = х 8 ·(6 + 2 х); c) f(x) = (х -7)(1+х 2 ). Замечание. При решении используйте 2 правило.

Решение примеров. 3. Найдите производные функций. a) f(x) = ; b) f(x) = ; c) f(x) =. Замечание. При решении используйте 3 правило.

Решите уравнение f / (x) = 0, если: a) f (x) = 3 х 2 – 6 х ; b) f (x) = 2 х – х 2. Решение примеров. Домашнее задание. П.15; правила, 211 в), г); 213 в), г). Пример. Решите уравнение f / (x) = 0, если f (x) = х 2 – 8 х. Решение. f / (x) = (х 2 – 8 х) / = (х 2 ) / - (8 х) / = = 2 х -8 f / (x) = 0, 2 х - 8 = 0 2 х = 8 х = 4 Ответ: 4.