«Древнекитайское и древнеиндийское доказательства. Доказательство Аннариция» Брянский городской лицей 1 им. А.С.Пушкина. Проект «Теорема Пифагора» Брянск 2011

Древнекитайское доказательство Математические трактаты Древнего Китая дошли до нас в редакции II в. до н.э. Дело в том, что в 213 г. до н.э. китайский император Ши Хуан-ди, стремясь ликвидировать прежние традиции, приказал сжечь все древние книги. Во II в. до н.э. в Китае была изобретена бумага и одновременно наченается воссоздание древних книг. Так возникла тематика в девяти книгах» главное из сохранившихся математико - астрономических соченений. В 9-й книге «Математики» помещен чертеж (рис. 1, а), доказывающий теорему Пифагора. Ключ к этому доказательству подобрать нетрудно. Брянский городской лицей 1 им. А.С.Пушкина. Проект «Теорема Пифагора»

ABC – прямоугольный a, b – катеты, c - гипотенуза Доказать: c² = a² + b² Дано: Доказательство: 1. Д.п. Построим еще 3 равных данному прямоугольных треугольника. 3. Сторона внешнего квадрата - (a + b), а сторона внутреннего, построенного на гипотенузе – с. с²с² b c Брянский городской лицей 1 им. А.С.Пушкина. Проект «Теорема Пифагора» а а b 2. Каждый из прямоугольных треугольников достроим до прямоугольника

ABC – прямоугольный a, b – катеты, c - гипотенуза Доказать: c² = a² + b² Дано: Доказательство: Брянский городской лицей 1 им. А.С.Пушкина. Проект «Теорема Пифагора» с²с² b c а а b 3. Вырезаем квадрат со стороной с и оставшиеся 4 треугольника укладываем в два прямоугольника. 4. Образовавшаяся пустота с одной стороны равна с², а с другой - а²+b², т.е. с² = a² + b² b²b² a²a² с²с²

Древнеиндийское доказательство Математики Древней Индии заметили, что для доказательства теоремы Пифагора достаточно использовать внутреннюю часть древнекитайского чертежа. В написанном на пальмовых листьях трактате «Сиддханта широмани» («Венец знания») крупнейшего индийского математика XII в. Бхаскары помещен чертеж с характерным для индийских доказательств словом: «Смотри!». a - bb b²b² a c a Брянский городской лицей 1 им. А.С.Пушкина. Проект «Теорема Пифагора»

Дано: ABC – прямоугольный a, b – катеты, c - гипотенуза Доказать: c² = a² + b² Доказательство: 1. Прямоугольные треугольники уложены здесь гипотенузой наружу и квадрат с² перекладывается в «кресло невесты» а²+b². 2. 2ab+(a-b)²=c² 2ab+a²-2ab+b²=c²; a²+b²=c² ч.т.д. Брянский городской лицей 1 им. А.С.Пушкина. Проект «Теорема Пифагора» a - bb b²b² a c a с с с с (a-b)²

Заметим, что частные случаи теоремы Пифагора (например, построение квадрата, площадь которого вдвое больше площади данного квадрата) встречаются в древнеиндийском трактате «Сульва сутра» (VII V вв. до н.э.). Брянский городской лицей 1 им. А.С.Пушкина. Проект «Теорема Пифагора»

Багдадский математик и астроном X в. ан-Найризий (латинизированное имя - Аннариций) в арабском комментарии к "Началам" Евклида дал следующее доказательство теоремы Пифагора. Квадрат на гипотенузе разбит у Аннариция на 5 частей, из которых составляются квадраты на катетах. (рис. 3) Любопытно, что доказательство Аннариция является простейшим среди огромного чесла доказательств теоремы Пифагора методом разбиения: в нем фигурирует всего 5 частей (или 7 треугольников). Это наименьшее чесло возможных разбиений Брянский городской лицей 1 им. А.С.Пушкина. Проект «Теорема Пифагора» Доказательство Аннариция

Брянский городской лицей 1 им. А.С.Пушкина. Проект «Теорема Пифагора»

Задача в стихах: Задача индийского математика XII века Бхаскары: На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол обломал. Бедный тополь упал. И угол прямой С течением реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река В четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки. Осталось три фута всего от ствола, Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: У тополя как велика высота?

«Имеется водоем со стороной в 1 чжан (= 10 че). В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 че. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснется его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?». Другая формулировка: В середине квадратного озера со стороной 10 футов растет тростник, выходящий из воды на один фут. Если нагнуть тростник, вершина достигнет берега. Какова глубина озера? Задача из китайской книги «Математики в девяти книгах» Брянский городской лицей 1 им. А.С.Пушкина. Проект «Теорема Пифагора»

. Решение: X + 1 X Х 1 В ABC ABC = 90. Пусть BC = x че, тогда AC = x + 1 (че); AB = 5 че. По теореме Пифагора 1) (x + 1) 2 = x 2 ; x 2 + 2x + 1 = x ; 2x = 24; x = 12. 2) = 13 (че). Ответ: Глубина воды 12 че. Длина камыша 13 че «Имеется водоем со стороной в 1 чжан (= 10 че). В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 че. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснется его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?». Брянский городской лицей 1 им. А.С.Пушкина. Проект «Теорема Пифагора»

Задача древних индусов: Над озером тихим, С полфута размером, высился лотоса цвет. Он рос одиноко. И ветер порывом Отнес его в сторону. Нет Боле цветка над водой. Нашел же рыбак его ранней весной В двух футах от места, где рос. Итак, предложу я вопрос: Как озера вода здесь глубока? Брянский городской лицей 1 им. А.С.Пушкина. Проект «Теорема Пифагора»