Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 1. Введение. Основные понятия теории вероятностей. Элементы комбинаторики

Предмет теории вероятностей Теория вероятностей изучает закономерности, возникающие в случайных экспериментах. Случайным называют эксперимент, результат которого нельзя предсказать заранее. Невозможность предсказать результат отличает случайное явление от детерминированного. Не все случайные явления ( эксперименты ) можно изучать методами теории вероятностей, а лишь те, которые могут быть воспроизведены в одних и тех же условиях. Случайность и хаос не одно и то же.

Случайное событие : факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. События, которые могут произойти в результате опыта, можно подразделить на три вида : а ) достоверное событие – событие, которое всегда происходит при проведении опыта ; б ) невозможное событие – событие, которое в результате опыта произойти не может ; в ) случайное событие – событие, которое может либо произойти, либо не произойти.

Алгебра событий. Сумма ( объединение ) событий Произведение ( пересечение ) событий Разность ( дополнение ) событий

Сумма событий Суммой ( объединением ) событий A и B называется событие, состоящее в том, что произошло либо A, либо B, либо оба события одновременно. A B

Произведение событий Произведением АВ событий А и В называется событие, состоящее в том, что произошло и событие А, и событие В. Аналогично произведением нескольких событий называется событие, заключающееся в том, что произошли все эти события. A B

Разность ( дополнение ) событий Разностью А \B событий А и В называется событие, состоящее в том, что А произошло, а В – нет.

Категории событий События А и В называются совместными, если они могут произойти оба в результате одного опыта. В противном случае события называются несовместными. События А 1, А 2,…, Ап образуют полную группу, если в результате опыта обязательно произойдет хотя бы одно из событий этой группы События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них является более возможным, чем другое

Аксиомы теории вероятностей Аксиома 1. Каждому случайному событию A соответствует определенное число Р ( А ), называемое его вероятностью и удовлетворяющее условию 0 P(A) 1 Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице. Аксиома 3 ( аксиома сложения вероятностей ). Пусть A и В несовместные события. Тогда вероятность того, что произойдет хотя бы одно из этих двух событий, равна сумме их вероятностей : P(A+B)=P(A)+P(B) Аксиома 3 допускает обобщение на случай нескольких событий, а именно : если события A1, A2,..., An, попарно несовместны, то P(A1+ A An) = P(A1) + P(A2) + …+ P(An)

Схема случаев Если все события, которые могут произойти в результате данного опыта, а ) попарно несовместны ; б ) равновозможны ; в ) образуют полную группу, то говорят, что имеет место схема случаев.

Классическое определение вероятности Вероятностью события А называется отношение числа исходов опыта, благоприятных этому событию, к числу возможных исходов :

Свойства вероятности Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице. Доказательство. Так как достоверное событие всегда происходит в результате опыта, то все исходы этого опыта являются для него благоприятными, то есть т = п, следовательно, Р ( А ) = 1. Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю. Доказательство. Для невозможного события ни один исход опыта не является благоприятным, поэтому т = 0 и р ( А ) = 0. Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. Доказательство. Случайное событие происходит при некоторых исходах опыта, но не при всех, следовательно, 0 < m < n, и из (1.1) следует, что 0 < p(A) < 1.

Относительная частота. Статистическое определение вероятности. относительная частоты W(A) события A - отношение числа опытов, в которых наблюдалось событие А, к общему количеству проведенных испытаний : где N – общее число опытов, М – число появлений события А. Статистической вероятностью события считают его относительную частоту или число, близкое к ней.

Геометрическая вероятность Пусть на отрезок L наудачу брошена точка. Вероятность того, что брошенная точка попадет на отрезок l, являющийся частью отрезка L – Аналогично для плоскости : Для трёхмерного случая :

Пример 1 Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в круг, не попадет в правильный шестиугольник, вписанный в него.

Решение Пусть радиус круга равен R, тогда сторона шестиугольника тоже равна R. При этом площадь круга а площадь шестиугольника Следовательно,

Теорема сложения вероятностей. Вероятность р ( А + В ) суммы событий А и В равна Р ( А + В ) = р ( А ) + р ( В ) – р ( АВ ). Доказательство.

Следствие 1. Теорему сложения вероятностей можно распространить на случай суммы любого числа событий. Например, для суммы трех событий А, В и С : Р ( А + В + С ) = р ( А ) + р ( В ) + р ( С ) – р ( АВ ) – р ( АС ) – р ( ВС ) + р ( АВС )

Следствие 2. Если события А и В несовместны, то m АВ = 0, и, следовательно, вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей : Р ( А + В ) = р ( А ) + р ( В ).

Определение Противоположными событиями называют два несовместных события, образующих полную группу. Если одно из них назвать А, то второе принято обозначать Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1: р ( А ) + р ( ) = 1.

Условная вероятность Определение 2.2. Назовем условной вероятностью р ( В / А ) события В вероятность события В при условии, что событие А произошло. Замечание. Понятие условной вероятности используется в основном в случаях, когда осуществление события А изменяет вероятность события В.

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло : р ( АВ ) = р ( А ) · р ( В / А ). Доказательство.

Независимые события Определение : Событие В называется независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности В, то есть р ( В / А ) = р ( В ). Замечание. Если событие В не зависит от А, то и А не зависит от В. Свойство независимости событий взаимно. Теорема умножения для независимых событий имеет вид : р ( АВ ) = р ( А ) · р ( В )

Вероятность появления хотя бы одного события Теорема Вероятность появления хотя бы одного из попарно независимых событий А 1, А 2,…, Ап равна р ( А ) = 1 – q1q2…qn, где qi – вероятность события, противоположного событию А i.

Пример. Сколько нужно произвести бросков монеты, чтобы с вероятностью не менее 0,9 выпал хотя бы один герб ? Решение. Вероятность выпадения герба при одном броске равна вероятности противоположного события ( выпадения цифры ) и равна 0,5. Тогда вероятность выпадения хотя бы одного герба при n бросках равна 1- (0,5) n. Тогда из решения неравенства 1- (0,5)n > 0,9 следует, что п > log210 4.

Основные формулы комбинаторики комбинаторика – наука, изучающая комбинации, которые можно составить по определенным правилам из элементов некоторого конечного множества

Перестановки Перестановки – это комбинации, составленные из всех п элементов данного множества и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок Р n = n! Пример. Сколько различных списков ( отличающихся порядком фамилий ) можно составить из 7 различных фамилий ? Решение. Р 7 = 7! = 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 = 5040.

Размещения Размещения – комбинации из m элементов множества, содержащего n различных элементов, отличающиеся либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений Количество размещений из n по m, обозначаемое A n m, равно убывающему факториалу A n m =n! / (n-m)! Пример. Сколько возможно различных вариантов пьедестала почета ( первое, второе, третье места ), если в соревнованиях принимают участие 10 человек ? Решение. A 3 10 = 10*9*8 = 10! / 7! = 720

Сочетания Сочетания – неупорядоченные наборы из т элементов множества, содержащего п различных элементов ( то есть наборы, отличающиеся только составом элементов ). Число сочетаний Пример. В отборочных соревнованиях принимают участие 10 человек, из которых в финал выходят трое. Сколько может быть различных троек финалистов ? Решение. В отличие от предыдущего примера, здесь не важен порядок финалистов, следовательно, ищем число сочетаний из 10 по 3:

Лекция закончена У кого есть вопросы ?