Десять способов Решения квадратных уравнений.

Когда уравнение решаешь, дружок, Ты должен найти у него корешок. Значение буквы проверить не сложно, Поставь в уравненье его осторожно. Коль верное равенство выйдет у вас, То корнем значенье зовите тотчас..

Квадратные уравнения- это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. В школьном курсе математике изучается формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Имеются десять способов решения квадратных уравнений. Подробно разберём каждый из них..

1. Разложение левой части уравнения на множители..

Решим уравнения x 2 +10x-24=0. Разложим левую часть на множители: x 2 +10x-24=x 2 +12x-2x-24=x (x+12) -2 (x+12)= (x+12)(x-2). Следовательно, уравнения можно переписать так: (x+12) (x-2)=0 Так как произведение равно нулю, то по крайней мере один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при x=2, а также при x=-12. Это означает, что числа 2 и -12 являются корнями уравнения x 2 +10x-24=0.

2. Метод выделения полного квадрата.

Поясним этот метод на примерах. 1. Решим уравнение x²+6x-7=0 Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражения x²+6x в следующим виде. x²+6x=x²+2· x·3. В полученном выражении первое слагаемое- квадрат числа x,а второе- удвоенное произведение x на 3. Поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3², так как x²+2·x·3+3²=(x+3)² Преобразуем теперь левую часть уравнения x²+6x-7=0, прибавляя к ней и вычитая 3². Имеем: x²+6x-7=x²+2·x·3+3²-3²-7=(x+3) ²-9-7=(x+3) ²-16. Таким образом, данное уравнение можно записать так: (x+3) ²-16=0,т.е. (x+3) ²=16. Следовательно, x+3 = 4, x = 1, или x+3 = - 4, x =-7.

3. Решение квадратных уравнений по формуле. Общий вид квадратного уравнения ax²+bx+c=0,a0, ax²+bx+c=0,a0, формула корней квадратного уравнения формула корней квадратного уравнения

Решим уравнения: А) 4x 2 +7x+3=0. а =4, b=7, c=3, D=b 2 -4ac= =1,D>0, два разных корня; Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при b 2 -4ac>0, уравнение ax²+bx+c=0 имеет два различных значения.

продолжение Б) 4x2-4x +1=0 Б) 4x2-4x +1=0 a=4,b=-4, c=1, D=b2-4ac=(-4)2-16=0, D=0, один корень; a=4,b=-4, c=1, D=b2-4ac=(-4)2-16=0, D=0, один корень; Итак, если дискриминант равен нулю, т.е. b2-4ac=0, то уравнение ax²+bx+c=0 Итак, если дискриминант равен нулю, т.е. b2-4ac=0, то уравнение ax²+bx+c=0 имеет единственный корень, имеет единственный корень, В) 2x2+3x +4=0, В) 2x2+3x +4=0, a=2, b=3, c=4, D=b2-4ac=32-32=-13, D<0. Уравнение не имеет корней. a=2, b=3, c=4, D=b2-4ac=32-32=-13, D<0. Уравнение не имеет корней. Итак, если дискриминант отрицателен, т.е. b2-4ac<0, то уравнение ax²+bx+c=0 не Итак, если дискриминант отрицателен, т.е. b2-4ac<0, то уравнение ax²+bx+c=0 не имеет корней. имеет корней.

Формула (1)корней квадратного уравнения ax²+bx+c=0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения(если они есть), в том числе приведенного и неполного. Словесно формула (1) выражается так: корни квадратного уравнения равны дроби, числитель который равен второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента на свободный член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент..

4. Решения уравнений с использованием теоремы Виета (прямой и обратной)..

Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид: x²+px+q=0 (1) Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при a=1 имеет вид Отсюда можно сделать следующие выводы( по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней)..

а) Если свободный член q приведенного уравнения (1) положителен (q>0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента p. Если p>0,то оба корня отрицательны, если p 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента p. Если p>0,то оба корня отрицательны, если p<0, то оба корня положительны.. Например, а) x²-3x+2=0; x1=1 и x2 =2, так как q=2, 2>0 и p=-3, -3 0 и p=8, 8>0.

б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q 0. Например,. б) x²+4x-5=0; x1=-5 и x2=1, так как q=-5, -5 0 x²-8x-9=0; x1=9 и x2=-1, так как q=-9, -9 0 x²-8x-9=0; x1=9 и x2=-1, так как q=-9, -9<0 и p=-8, -8<0

5. Решение уравнений способом «переброски».

Рассмотрим квадратное уравнение ax²+bx+c=0, где a0. Умножая обе его части на a, получаем уравнение a²x²+abx+ac=0 Пусть ax=y, откуда x= y/a ; тогда приходим к уравнению y²+by+ac=0 равносильного данному.Его корни y 1 и y 2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем x 1 = y 1 /a и x 1 = y 2 /a. При этом коэффициент a умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат..

Решим уравнение 2x² -11x+15=0, Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение y²-11y+30=0 Согласно теореме Виета Ответ: 2,5; 3. /

6. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

А). Пусть дано квадратное уравнение a x²+bx+c=0,где a0. 1. Если a +b+c=0( т.е. сумма коэффициента уравнения равна нулю), то x 1 =1, x 2 =c/a 2. Если a -b+c=0, или b=a+c, то x 1 =-1, x 2 = -c/a Б). Если второй коэффициент b=2k- четное число, то формулу корней (слайд 8 формула 1) можно записать в виде ……………… В). Приведенное уравнение x²+px+q=0 совпадает с уравнением общего вида, в котором а=1,b=p и c=q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней (слайд 8 формула 1) принимает вид: ……………………………(3) Формулу (3) особенно удобно использовать когда p четное число. 1

Решим уравнение 345x x-208=0. Решение. Так как a+b+c=0 ( =0), то Ответ: Решим уравнение 3x 2 -14x+16=0 Решение. Имеем: a=3, b=-14, c=16, k=-7; D=k 2 -ac=(-7) 2 -48=1,D>0, два различных корня;

Для запоминания формулы (3) для решения приведенного квадратного уравнения x²+px+q=0 можно использовать такое стихотворение: р со знаком взяв обратным, Мы на два его разделим. И от корня аккуратно Знаком «минус», «плюс» отделим. А под корнем, очень кстати, Половина р в квадрате, Минус q – И вот решенье Небольшое уравненья:

7. Графическое решение квадратного уравнения. 7. Графическое решение квадратного уравнения.

Если в уравнении x²+px+q=0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим x² = - px - q. Построим графики зависимостей y = x² и y =-px-q. График первой зависимости- парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости- прямая.

Возможны следующие случаи: -Прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения; -Прямая и парабола могут касаться ( только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение. -Прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Решим графически уравнения x²-3x-4=0. Решение. Запишем уравнения в виде x²=3x+4 Запишем уравнения в виде x²=3x+4 Получим параболу y=x². Прямую y=3x+4 можно построить по двум точкам M(0;4) и N(3;13). Прямая и парабола пересекаются в двух точках A и B Прямая и парабола пересекаются в двух точках A и B c абсциссами x 1 =-1 и x 2 =4 c абсциссами x 1 =-1 и x 2 =4 Ответ: x 1 =-1, x 2 =4. Ответ: x 1 =-1, x 2 =4.

8. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика. Предлагаем следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ax²+bx+c=0 квадратного уравнения ax²+bx+c=0 с помощью циркуля и линейки.

Решить уравнение x 2 -2x-3=0 Решение. Определим координаты точки центра окружности по формуле: Проведем окружность радиуса SA, где A( 0;1). Ответ: x 1 =-1, x 2 =3.

9. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с. 83 (см. Брадис В. М. Четырёхзначные математические таблицы. –М., Просвещение,1990). Таблица XXІІ. Номограмма для решения уравнения z²+pz+q=0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения Криволинейная шкала номограммы построена по формулам : Пологая OC=p, ED=q, OE=a( все в см.), из подобия треугольников CAH и CDF получим пропорцию Откуда после постановок и упрощений вытекает уравнение z²+pz+q=0, причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

10. Геометрический способ решения квадратных уравнений. 10. Геометрический способ решения квадратных уравнений.

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведем ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал- Хорезми

А вот, например, как древние греки решали уравнение y²+6y-16=0 Решение представлено на рис., где y²+6y=16, или y²+6y+9=16+9. Решение. Выражения y²+6y+9 и 16+9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение y²+6y =0- одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что y+3=±5, или y 1 =2, y 2 =-8( рис). y2y2 3y3y 3y9

Литература. 1. Алимов Ш. А., Ильин В. А. и др. Алгебра, 6-8. Пробный учебник для 6-8 классов средней школы. –М., Просвещение, Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы. Изд. 57-е. –М., Просвещение, Злоцкий Г. В. Карточки- задания при обучении математике. Книга для учителя. –М., Просвещение, Клюквин М. Ф. Алгебра, 6-8. Пособие для учащихся 6-8 классов. –М., Просвещение, Кужепов А. К., Рубанов А. Т. Задачник по алгебре и элементарным функциям. Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. –М., Высшая школа, М., Математика (приложение к газете «Первое сентября»), 21/96, 10/97, 24/97, 18/98, 21/ Окунев А. К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. –М., Просвещение, Пресман А. А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. -М., Квант, 4/72. С Соломник В. С., Милов П. И. Сборник вопросов и задач по математике.Изд.4-е дополн. –М., Высшая школа, Худобин А. И. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. Пособие для учителя. Изд. 2-е. –М., Просвещение,1970.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!