Цилиндр, конус и шар Основные понятия

Понятие цилиндра основание образующая основание Цилиндрическаяповерхность Осьцилиндра О1О1О1О1 О rr1rr1 r M M1M1M1M1 A A1A1A1A1 L1L1L1L1 L

Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами L и L1, называется цилиндром. Цилиндрическая поверхность – боковая поверхность цилиндра, а круги – основания цилиндра Образующие цилиндрической поверхности – образующие цилиндра, а прямая ОО 1 – ось цилиндра (все образующие параллельны и равны) Длина образующей – высота цилиндра, а радиус основания – радиус цилиндра Запомни это ! Основные понятия

B C D A Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. На рисунке цилиндр получен вращением прямоугольника АBCD вокруг стороны AB. При этом боковая поверхность цилиндра образуется вращением стороны CD, а основания – вращением сторон BC и CD.

Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой Прямоугольник, 2стороны которого – образующие, а 2другие – диаметры оснований цилиндра. Это сечение - осевое Сечение цилиндра

Если секущая плоскость перпендикулярна к оси цилиндра, то сечение является кругом.

На практике нередко встречаются предметы, которые имеют форму более сложных цилиндров, например, наклонный цилиндр

Площадь поверхности цилиндра A B r h A B A1A1 B2B2 h 2Пr2Пr Представим, что боковую поверхность цилиндра разрезали по образующей AB так, что все образующие оказались расположенными в некоторой плоскости. В результате получился прямоугольник ABA 1 B 1 Это развертка боковой поверхности цилиндра. За площадь боковой поверхности цилиндра принимают площадь ее развертки. См. далее

Основание AA 1 прямоугольника является разверткой окружности основания цилиндра, а высота AB – образующей цилиндра, поэтому AA1= 2Пr ; AB=h, где r- радиус цилиндра, h - высота. Так как площадь прямоуг. ABA1B1 = AA1 * AB = 2Пrh, то S бок =2Пrh S бок =2Пrh Площадь боковой поверхности цилиндра равна Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра. Площадь полной поверхности цилиндра = сумме площадей боковой поверхности и двух оснований S цил= 2Пrh +2Пr*r=2Пr (r + h)

Понятие конуса B P O r L Ось конуса Вершина конуса образующая Боковая поверхность Основание конуса

Основные понятия Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом конусом с границей L, называется конусом Коническая поверхность – боковая поверхность конуса, а круг – основание конуса Точка Р- вершина конуса, а образующие конической поверхности- -образующие конуса. Прямая ОР, проходящая через центр основания и вершину, называется осью конуса. Ось конуса перпендикулярна к плоскости основания. Отрезок ОР- высота конуса.

С С2С2 С1С1 В А Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника АВС вокруг катета АВ. При этом боковая поверхность образуется путем вращения гипотенузы АС, а основание - вращением катета ВС.

Сечение конуса Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение- равнобедренный треугольник, основание которого – диаметр основания, а боковые стороны – образующие, Это сечение- осевое Если секущая плоскость перпендикулярна к оси ОР, то сечение – круг с центром О1, причем r=(РО1:РО)*r, где r-радиус основания конуса.

Площадь поверхности конуса За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь его развертки. Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор, радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора- длине окружности основания конуса. См. далее P A B P A A1A1 B Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую О:О:

Выразим площадь боковой поверхности конуса S бок через его образующую l и радиус основания r. Площадь кругового сектора -равна ПL*L a /360,где a- градусная мера дуги ABA 1,поэтому S бок = ПL * L a /360 Выразим a через l и r. Так как длина дуги ABA 1 = 2Пr(длине окружности основания конуса), то 2Пr=ПL a /180,откуда a = 360r/L Подставим это выражение в формулу S бок = ПL*L*360r 360*L S бок =ПrL Площадь полной поверхности конуса = сумме площадей боковой поверхности и основания S кон = ПrL+Пr*r= Пr (L +r) S кон =Пr (L+ r)

Усечённый конус P O O1O1O1O1 r r1r1 Основание конуса образующая Боковая поверхность Возьмем произвольный конус и проведем секущую плоскость, перпендикулярную к его оси. Эта плоскость разобьет конус на две части. усечённым конусом. Одна из них и будет усечённым конусом.

Основные понятия Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого основания усечённого конуса конуса плоскостью- основания усечённого конуса, а отрезок, высота соединяющий их центры- высота Часть конической поверхности, ограничивающая усечённый конус- боковая поверхность его боковая поверхность, а отрезки образующих конической поверхности образующие усечённого конуса - образующие усечённого конуса Это нужно выучить!

Усечённый конус может быть получен вращением прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной к основаниям. При этом боковая поверхность образуется вращением боковой стороны AB, а основания- вращением оснований CB и DA трапеции. A B C D

Площадь поверхности усечённого конуса Пусть P- вершина конуса, из которого получен усечённый конус, AA 1 -о-одна из образующих, О иО 1 – центры оснований. Используя формулу S бок конуса = ПrL получим S бок = Пr*PA-Пr 1 *PA 1 =Пr(PA 1 +AA 1 )- Пr 1 *PA 1 отсюда, учитывая, что AA 1 =L, находим S бок =ПrL + П(r-r 1 )PA 1. Выразим PA 1 через L, r и r 1. (прямоугольные треугольники POA 1 и POA подобны, так как имеют общий угол Р, поэтому РА 1 :РА= r 1 :r или РА 1 :РА 1 +L=r 1 :r отсюда получаем РА 1 =Lr 1 : r-r 1 ) См. далее Р А А1А1 О О1О1 r r1r1

Подставим это выражение в формулу S бок = ПrL+ П(r-r 1 )PA 1, получим ПrL + П(r-r 1 )*Lr 1 r-r 1 = ПrL+ Пr 1 L=П(r+r 1 )L S бок = П(r+r 1 )L Площадь боковой поверхности усечённого конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую О:

Сфера и шар R O Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, которые расположены на данном расстоянии от данной точки. Данная точка – центр сферы, а данное расстояние- -радиус сферы. Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также является радиусом. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр- диаметр(=2R)

А В С Сфера может быть получена вращением полуокружности вокруг её диаметра. На рисунке сфера получена вращением полуокружности АВС вокруг её диаметра АВ. Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы- центр, радиус и диаметр шара. Шар с радиусом R и центром О содержит все точки пространства, которые расположены от точки О на расстоянии, не превышающемR (включая точку О), и не содержит других Шар с радиусом R и центром О содержит все точки пространства, которые расположены от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая точку О), и не содержит других точек.

Уравнение сферы Y X Z O C M C(x 0 ;y 0 ;z 0 ) M (x;y;z) Пусть задана прямоугольная система координат O xyz и дана поверхность f,например плоскость или сфера. Уравнение с тремя переменными x, y, z называется уравнением поверхности F,если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности. См. далее

Выведем уравнение сферы радиуса R с центром С(x 0 ;y 0 ;z 0 ) Расстояние от произвольной точки М(x;y;z)до точки С вычисляется по формуле: МС= (x-x 0 )+(y-y 0 )+(z-z 0 ) 2 2 Если точка М лежит на данной сфере, то М=R, т.е. МС=R, то есть координаты точки М удовлетворяют уравнению (x-x 0 )+(y-y 0 )+(z-z 0 )=R Если же точка М не лежит на данной сфере, то МС=R, т. е. координаты точки М не удовлетворяют первому уравнению. В прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром С(x;y;z) имеет вид (x-x 0 )+(y-y 0 )+(z-z 0 )=R

Взаимное расположение сферы и плоскости z y x O C R y x z C z y x C O O 2 2 dR См. далее

Обозначим радиус сферы –R, а расстояние от её центра до плоскости – d. Введем систему координат :плоскость Оxy совпадает с плоскостью, а центр С сферы лежит на положительной полуосиOz. В этой системе С имеет координаты (0;0; d),поэтому сфера имеет уравнение x +y +(z -d)=R Плоскость а совпадёт с плоскостью Oxy, значит z=0. Вопрос о взаимном расположении сферы и плоскости сводится к исследованию системы уравнений: z= x +y +( z- d)=R Подставив z=0 во второе уравнение получим: x +y=R- d.

Возможны три случая: 1.d0, и уравнение окружности радиуса 2 2 r = R-d с центром в точке О на плоскости Oxy.В данном случае сфера и плоскость пересекаются по окружности. Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы- окружность 2.d=R,тогда 2 2 R-d=0, И ур-нию удовлетворяют значения x=0,y=0.Значит О(0;0;0),то есть Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы0 то сфера и плоскость имеют только одну общую точку. 3.d>R,тогда 2 2 R-d

Касательная плоскость к сфере А О Плоскость., имеющая со сферой одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка- точка касания плоскости и сферы. На рисунке плоскость а- касательная плоскость к сфере с центром О, а А-точка касания. а См. далее

Свойство касательной плоскости: Т: радиус сферы, проведенный в точку касания, перпендикулярен к касательной плоскости. Доказательство: Рассмотрим рисунок, показанный ранее. Предположим, что радиус не перпендикулярен к плоскости. Тогда он является наклонной к плоскости а, то есть расстояние от сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то есть они пересекаются по окружности, а это невозможно, так как а- касательная. Значит радиус перпендикулярен к плоскости, ч. т. д. Обратная теорема: если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость- касательная к сфере Доказательство: Из условия следует, что радиус- перпендикуляр, проведённый из центра сферы к плоскости. Значит, расстояние от центра сферы до плоскости = радиусу, сфера и плоскость имеют одну общую точку, то есть данная плоскость- касательная к сфере, ч. т. д.

Площадь сферы Сферу нельзя развернуть на плоскость, поэтому для определения её площади пользуются понятием описанного многогранника. (Многогранник описанный, если сфера касается всех его граней. При этом сфера- вписанная.На рис. Сфера вписана в куб и тетраэдр) За площадь сферы принимается предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани. S=4П(R*R) -это будет доказано в дальнейшем курсе геометрии.

конец