1. Скорости газовых молекул. Опыт Штерна 2. Вероятность события. Понятие о распределении молекул газа по скоростям 3. Функция распределения Максвелла 4. Барометрическая формула 5. Распределение Больцмана 6. Закон распределения Максвелла-Больцмана РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГАЗОВЫХ МОЛЕКУЛ ПО СКОРОСТЯМ И ЭНЕРГИЯМ

1. Скорости газовых молекул. Опыт Штерна В средине XIX века была сформулирована молекулярно-кинетическая теория, но тогда не было никаких доказательств существования самих молекул. Вся теория базировалась на предположении о движении молекул, но как измерить скорость их движения, если они невидимы.

Теоретики первими нашли выход. Из уравнения молекулярно-кинетической теории газов известно, что Отсюда среднеквадратичная скорость равна:

Например, при плотности азота, равной 1,25 кг/м 3, при t = 0 С и, скорости молекул азота. Для водорода:

Опыт Штерна Схема установки О. Штерна

Платиновая нить А, покрытая снаружи серебром, располагается вдоль оси коаксиальных цилиндров S 1, S 3. Внутри цилиндров поддерживается низкое давление порядка Па. При пропускании тока через платиновую нить она разогревается до температуры выше точки плавления серебра (961,9 С). Серебро испаряется, и его атомы через узкие щели в цилиндре S 1 и диафрагме S 2 летят к охлаждаемой поверхности цилиндра S 3, на которой они могут осаждаться. Если цилиндры S 1, S 3 и диафрагма не вращаются, то пучок осаждается в виде узкой полоски D на поверхности цилиндра S 3.

Опыт Штерна Если же вся система приводится во вращение с угловой скоростью то изображение щели смещается в точку D и становится расплывчатим.

Пусть l – расстояние между D и D /, измеренное вдоль поверхности цилиндра S 3, где – линейная скорость точек поверхности цилиндра S 3, радиусом R; время прохождения атомами серебра расстояния. Таким образом, имеем откуда – можно определить величину скорости теплового движения атомов серебра :

Температура нити в опытах Штерна равнялась 1200 С, что соответствует среднеквадратичной скорости молекул серебра В эксперименте получился разброс значений скорости от 560 до 640 м/с. Кроме того, изображение щели D всегда оказывалось размытим, что указывало на то, что атомы Ag движутся с различними скоростями.

Ещё в XIX веке Дж. Максвелл утверждал, что молекулы, беспорядочно сталкиваясь друг с другом, как-то «распределяются» по скоростям, причём вполне определённим образом. Таким образом, в этом опыте были не только измерены скорости газовых молекул, но и показано, что они имеют большой разброс по скоростям. Причина – в хаотичности теплового движения молекул.

2. Вероятность события. Понятие о распределении молекул газа по скоростям С точки зрения атомно-молекулярного строения вещества величины, встречающиеся в макроскопической физике, имеют смысл средних значений, которые принимают некоторые функции от микроскопических переменных системы. Величины такого рода называются статистическими. Примерами таких величин являются давление, температура, плотность и др.

Большое число сталкивающихся атомов и молекул обуславливает важные закономерности в поведении статистических переменных, не свойственные отдельним атомам и молекулам. Такие закономерности называются вероятностними или статистическими

Математическое определение вероятности: вероятность какого-либо события – это предел, к которому стремится отношение числа случаев, приводящих к осуществлению события, к общему числу случаев, при бесконечном увеличении последних: Здесь n число раз, когда событие произошло, а n общее число опытов. Отсюда следует, что Р может принимать значения от нуля до единицы.

Молекулы движутся хаотически. Среди них есть и очень быстрые, и очень медленные. Благодаря беспорядочному движению и случайному характеру их взаимных столкновений, молекулы определённим образом распределяются по скоростям. Это распределение оказывается однозначним и единственно возможним, и не только не противоречит хаотическому движению, но именно им и обусловлено.

Будем искать число частиц ( n) скорости которых лежат в определённом интервале значения скорости υ ( т.е. от υ до ). Здесь n – число молекул, попавших в этот интервал. Для единицы объёма n должно быть пропорционально: интервалу скорости υ, концентрации молекул n, самой скорости молекул υ. Таким образом

Здесь – функция распределения молекул по скоростям, n – концентрация молекул и - интервал значений скоростей. Перейдя к пределу, получим Физический смысл f( υ ) в том, что это отношение числа молекул, скорости которых лежат в определенном интервале скоростей, к общему числу молекул в единичном интервале скоростей:

Таким образом, f(υ) – имеет смысл вероятности, то есть показывает, какова вероятность любой молекулы газа в единице объёма иметь скорость, заключённую в единичном интервале, включающем заданную скорость υ. В данном случае f(υ) называют плотностью вероятности.

3. Функция распределения Максвелла Пусть имеется n тождественных молекул, находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при определенной температуре. После каждого столкновения между молекулами, их скорости меняются случайним образом. В результате невообразимо большого числа столкновений устанавливается стационарное равновесное состояние, когда число молекул в заданном интервале скоростей сохраняется постоянним.

В результате каждого столкновения проекции скорости молекулы испытывают случайное изменение на υ x, υ y, υ z, причем изменения каждой проекции скорости независимы друг от друга. Найдем в этих условиях, каково число частиц dn из общего числа n имеет скорость в интервале от до

Распределение молекул идеального газа по скоростям впервые было получено знаменитим английским ученим Дж. Максвеллом в 1860 году с помощью методов теории вероятностей. Максвелл Джеймс Клерк (1831 – 1879) – английский физик. Работы посвящены электродинамике, молекулярной физике, общей статике, оптике, механике, теории упругости. Установил статистический закон, описывающий распределение молекул газа по скоростям.

Скорость – векторная величина. Для проекции скорости на ось х (x-ой составляющей скорости), имеем тогда или

Видно, что доля молекул со скоростью не равна нулю. При,

Приведённое выражение и график справедливы для распределения молекул газа по x-им компонентам скорости. Очевидно, что и по y–им и z–им компонентам скорости также можно получить:

Вероятность того, что скорость молекулы одновременно удовлетворяет трём условиям: x – компонента скорости лежит в интервале от υ х до ; y – компонента, в интервале от υ y до ; z – компонента, в интервале от υ z до будет равна произведению вероятностей каждого из условий (событий) в отдельности: где

Или Этой формуле можно дать геометрическое истолкование: dn xyz – это число молекул в параллелепипеде со сторонами dυ x, dυ y, dυ z, то есть в объёме находящемся на расстоянии от начала координат в пространстве скоростей.

Величина (dn xyz ) не может зависеть от направления вектора скорости. Поэтому надо получить функцию распределения молекул по скоростям независимо от их направления, то есть по абсолютному значению скорости. Если собрать вместе все молекулы в единице объёма, скорости которых заключены в интервале от υ до по всем направлениям, и выпустить их, то они окажутся через одну секунду в шаровом слое толщиной d υ и радиусом υ

Объём этого шарового слоя: Общее число молекул в слое:

Отсюда следует закон Максвелла – распределение молекул по абсолютним значениям скоростей: где – доля всех частиц единичного объёма, скорости которых лежат в интервале от υ до

При получаем плотность вероятности, или функцию распределения молекул по скоростям: Эта функция обозначает долю молекул единичного объёма газа, абсолютные скорости которых заключены в единичном интервале скоростей, включающем данную скорость.

Обозначим тогда получим:

Выводы: - Вид распределения молекул газа по скоростям, для каждого газа зависит от массы m и температуры Т газа и не зависит от давления P и объёма V газа. - В показателе степени стоит отношение, кинетической энергии, соответствующей данной скорости υ к средней энергии теплового движения молекул при данной температуре: Значит распределение Максвелла характеризует распределение молекул по значениям кинетической энергии (показывает, какова вероятность при данной температуре иметь такое значение кинетической энергии).

Рассмотрим пределы применимости классического описания распределения частиц по скоростям. Для этого воспользуемся соотношением неопределенностей Гейзенберга. Согласно этому соотношению координаты и импульс частицы не могут одновременно иметь определенное значение. Классическое описание возможно, если выполнены условия:

Здесь – фундаментальная константа (постоянная Планка), определяющая масштаб квантовых (микроскопических процессов). Таким образом, если частица находится в объеме, то в этом случае возможно описание ее движения на основе законов классической механики.

Рассмотрим, как изменяется с абсолютной величиной скорости число частиц, приходящихся на единичный интервал скоростей, при единичной концентрации частиц. Наиболее вероятная, среднеквадратичная и средняя арифметическая скорости молекул газа

Из графика видно, что при «малых» υ, т.е. при, имеем ; затем достигает максимума А и далее экспоненциально спадает.

Величина скорости, на которую приходится максимум зависимости называют наиболее вероятной скоростью. Величину этой скорости найдем из условия равенства нулю производной - наиболее вероятная скорость одной молекулы. Для одного моля газа:

Среднюю квадратичную скорость найдем используя соотношение : – для одной молекулы. – для одного моля газа.

Средняя арифметическая скорость υ ср где – число молекул со скоростью от υ до. Если подставить сюда f(υ) и вычислить, то получим: – для одной молекулы. – для одного моля газа.

Формула Максвелла для относительных скоростей Для решения многих задач удобно использовать формулу Максвелла, где скорость выражена в относительных единицах. Относительную скорость обозначим через u : где

Формула Максвелла для относительных скоростей Это уравнение универсальное. В таком виде функция распределения не зависит ни от рода газа, ни от температуры

Зависимость функции распределения Максвелла от массы молекул и температуры газа

Площадь под кривой величина постоянная, равная единице ( ), поэтому важно знать как будет изменяться положение максимума кривой: Максвелловский закон распределения по скоростям и все вытекающие следствия справедливы только для газа в равновесной системе. Закон статистический и выполняется тем лучше, чем больше число молекул.

Атмосферное давление на какой-либо высоте обусловлено весом выше лежащих слоёв газа. Пусть P – давление на высоте h, а – на высоте 4. Барометрическая формула Причём dh>0, dР < 0, так как на большей высоте давление меньше. Разность давления равна весу газа, заключённого в объёме цилиндра с площадью основания равного единице и высотой dh, ρ плотность газа на высоте h, медленно убывает с высотой.

– плотность газа на высоте h С = Р 0 – давление на высоте. - барометрическая формула

Из барометрической формулы следует, что P убывает с высотой тем быстрее, чем тяжелее газ (чем больше μ) и чем ниже температура (например, на больших высотах концентрация легких газов Не и Н 2 гораздо больше чем у поверхности Земли). На рисунке изображены две кривые, которые можно трактовать, либо как соответствующие разним μ (при одинаковой Т), либо как отвечающие разним Т, при одинаковых μ.

Таким образом, чем тяжелее газ (> μ) и чем ниже температура, тем быстрее убывает давление.

Распределение Больцмана определяет распределение частиц в силовом поле в условиях теплового равновесия. Пусть идеальный газ находится в поле консервативных сил, в условиях теплового равновесия. При этом, концентрация газа будет различной в точках с различной потенциальной энергией, что необходимо для соблюдения условий механического равновесия. 5. Распределение Больцмана

Число молекул в единичном объеме n убывает с удалением от поверхности Земли, значит и давление тоже убывает. Если известно число молекул в единичном объеме, то известно и давление, и наоборот. Давление и плотность пропорциональны друг другу, поскольку температура в нашем случае постоянна. Давление с уменьшением высоты должно возрастать, потому что нижнему слою приходится выдерживать вес всех расположенных сверху атомов.

Исходя из основного уравнения молекулярно- кинетической теории:, заменим P и P 0 в барометрической формуле на n и n 0 и получим распределение Больцмана для молярной массы газа: где n 0 и n число молекул в единичном объёме на высоте h = 0 и h, соответственно.

Так как, то распределение Больцмана можно представить в виде:

С уменьшением температуры число молекул на высотах, отличных от нуля, убывает. При T=0 тепловое движение прекращается, все молекулы расположились бы на земной поверхности. При высоких температурах, наоборот, молекулы оказываются распределённими по высоте почти равномерно, а плотность молекул медленно убывает с высотой.

Так как –потенциальная энергия, следовательно, распределение Больцмана характеризует распределение частиц по значениям потенциальной энергии: – это закон распределения частиц по потенциальним энергиям – распределение Больцмана. Здесь n 0 – число молекул в единице объёма в там, где U=0

На рисунке показана зависимость концентрации различных газов от высоты. Видно, что число более тяжелых молекул с высотой убывает быстрее, чем легких.

Можно получить отношение концентраций молекул в точках с U 1 и U 2 Больцман доказал, что соотношение справедливо не только в потенциальном поле сил гравитации, но и в любом потенциальном поле, для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения.

Из выражения для распределения молекул по скоростям можно найти распределение молекул газа по значениям кинетической энергии K. Для этого перейдём от переменной υ к переменной К : 6. Закон распределения Максвелла-Больцмана где dn(K) – число молекул, имеющих кинетическую энергию поступательного движения, заключённую в интервале от K до К+dК

Отсюда получим функцию распределения молекул по энергиям теплового движения: Средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа:

Итак, закон Максвелла даёт распределение частиц по значениям кинетической энергии а закон Больцмана – распределение частиц по значениям потенциальной энергии. Оба распределения можно объединить в единый закон Максвелла-Больцмана, согласно которому, число молекул в единице объёма, скорости которых лежат в пределах от υ до υ+dυ равно:

Обозначим E=U+K – полная энергия. Тогда Это закон распределения Максвелла- Больцмана. Здесь n 0 – число молекул в единице объёма в той точке, где ;.

Потенциальная и кинетическая энергии, а следовательно и полная энергия Е, могут принимать непрерывный ряд значений. Если же энергия частицы может принимать лишь дискретный ряд значений Е 1, Е 2... (как это имеет место, например, для внутренней энергии атома), то в этом случае распределение Больцмана имеет вид:

где N i – число частиц, находящихся в состоянии с энергией Е i, а А – коэффициент пропорциональности, который должен удовлетворять условию: где N – полное число частиц в рассматриваемой системе.

Тогда, окончательное выражение распределения Максвелла-Больцмана для случая дискретных значений будет иметь вид: