Электромагнитные колебания 1. Свободные колебания в электрическом контуре без активного сопротивления 2. Свободные затухающие электрические колебания 3. Вынужденные электрические колебания 4. Переменный ток 5. Работа и мощность переменного тока

1. Свободные колебания в электрическом контуре без активного сопротивления Цепь, содержащая индуктивность (L) и ёмкость (С) называется колебательным контуром. Колебания в контуре можно вызвать либо зарядив конденсатор, либо вызвав в индуктивности ток. Т.к. R=0, то полная энергия контура E=const

Если энергия конденсатора равна нулю (потенции. энергия), то энергия магнитного поля максимальна (кинетич.) и наоборот...

Из сопоставления электрических и механических колебаний следует, что: энергия электрического поля аналогична потенциииальной энергии упругой деформации энергия магнитного поля аналогична кинетической энергии; Индуктивность L играет роль массы m 1/С – роль коэффициента жесткости k Заряду q соответствует смещение маятника х Силе тока I ~ скорость υ Напряжению U ~ ускорение а

В соответствии с законом Кирхгофа (и законом сохранения энергии) R = 0 Дифференциальное уравнение электромагнитных колебаний: Решение уравнения - гармоническая функция: Собственная частота контура

Таким образом, заряд на обкладке конденсатора изменяется по гармоническому закону с частотой ω 0 – собственная частота контура. Период колебаний определяется по формуле Томсона:

Закон Ома для контура На емкости ток опережает напряжение на π/2. На индуктивности наоборот напряжение опережает ток на π/2. – волновое сопротивл. [Ом]. Напряжение на конденсаторе Ток в цепи: Амплитуда тока

2. Свободные затухающие электрические колебания Всякий реальный контур обладает активным сопротивлением R. Энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется в этом сопротивлении на нагревание, вследствие чего колебания затухают.

По второму закону Кирхгофа решение этого уравнения имеет вид: Уравнение свободных затухающих колебаний в контуре R,L и C - коэффициент затухания - собственная частота контура или Частота затухающих колебаний

Вид затухающих колебаний заряда q и тока I: Колебаниям q соответствует x – смещение маятника из положения равновесия, силе тока I – скорость υ.

Логарифмический декремент затухания Декремент затухания

R, L, ω – определяются параметрами контура, следовательно, и χ является характеристикой контура. Если затухание невелико 14 Т.к. коэффициент затухания Период затухающих колебаний Тогда

пропорциональная χ (Чем меньше затухание, тем выше добротность) Добротность колебательного контура Q определяется как величина обратно то W – энергия контура в данный момент, ΔW – убыль энергии за один период, следующий за этим моментом Число колебаний совершаемых за время затухания Время затухания – время за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз

т.е. при Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим сопротивлением: При апериодический разряд 16 (Т ): Колебаний не будет Критическое сопротивление

3. Вынужденные электрические колебания К контуру, изображенному на рис. подадим переменное напряжение U : уравнение вынужденных электрических колебаний совпадает с вынужденными механическими колебаниями.

Это уравнение совпадает с дифференциальным уравнением механических колебаний. Решение уравнения при больших t: Здесь амплитуда колебаний заряда:

полное сопротивление цепи (импеданс) – реактивное сопротивление R – активное сопротивление отвечает за потерю мощности в цепи. X – реактивное сопротивление, определяет величину энергии пульсирующей в цепи с частотой 2ω.

Резонанс напряжений (последовательный резонанс) Угол сдвига фаз между током и напряжением обращается в нуль (φ = 0) При последовательном соединении R, L, С, при наблюдается резонанс., а U C и U L одинаковы по амплитуде Тогда и противоположны по фазе. Такой вид резонанса называется резонансом напряжения или последовательным резонансом.

Таким образом, при последовательном резонансе, на ёмкости можно получить напряжение с амплитудой в узком диапазоне частот. Этот эффект широко используется в различных усилительных устройствах.

Резонанс токов (параллельный резонанс). В цепях переменного тока содержащих параллельно включенные ёмкость и индуктивность наблюдается другой тип резонанса: I 2 =I m2 cos(ωt - φ 2 )

При R = 0, L = 0: tg φ 1 = - т.к. φ 1 = (2n +3/2 )π, где n = 1,2,3…. При R =0, C =: I 2 =I m2 cos(ωt - φ 2 ) I m2 = U /ωL tg φ 2 = +, т.е. φ 2 = (2n + 1/2 ) π где n = 1,2,3…..

Таким образом разность фаз в ветвях цепи т.е. токи противоположны по фазе Если то Ёмкость конденсатора можно подобрать так, что в результате резонанса ток в подводящих цепях резко уменьшается, зато ток через индуктивность возрастёт

Явление уменьшения амплитуды тока во внешней цепи и резкого увеличения тока в катушке индуктивности, при приближении частоты приложенного напряжения ω к ω рез называется резонансом токов, или параллельным резонансом (Используется в резонансных усилителях, приемниках, а также в индукционных печах для разогрева металла).

4. Переменный ток При рассмотрении электрических колебаний приходится иметь дело с токами, изменяющимися во времени – переменными токами: I = I 0 sin( t + ) Закон Ома и вытекающие из него правила Кирхгофа были установлены для постоянного тока. Однако они остаются справедливыми и для мгновенных значений изменяющегося тока.

Электромагнитные сигналы распространяются по цепи со скоростью света с. Пусть l – длина электрической цепи. Время распространения сигнала в данной цепи Если то такие токи называются квазистационарными (Т – период колебаний тока). При этом условии мгновенное значение силы тока во всех участках цепи будет постоянным. Для частоты 50Гц условие квазистационарности будет выполняться при длине цепи ~ 100 км

1. Сопротивление в цепи переменного тока Ток в цепи I = I 0 sin t ; По закону Ома: U = IR = I 0 R sin t - напряжение изменяется синфазно с током; U 0 = I 0 R - амплитуда напряжения. С, L пренебрежимо малы Векторная диаграмма напряжения на сопротивлении:

2. Емкость в цепи переменного тока Ток в цепи: I = I 0 sin t, По определению Заряд конденсатора: Напряжение отстает по фазе от тока на π/2 -амплитуда напряжения R 0, L 0 - кажущееся сопротивление емкости

3. Индуктивность в цепи переменного тока Рассмотрим цепь с R 0 при наличии переменного тока в катушке возникает ЭДС самоиндукции: По закону Ома для участка цепи с ЭДС: U = IR – ε C = - ε C Напряжение опережает по фазе ток на π/2 -амплитуда напряжения - кажущееся сопротивление индуктивности

4. Закон Ома для переменного тока Напряжение при последовательном соединении R, L, C : Сумма - реактивная составляющая напряжения - активная составляющая напряжения

Амплитуда напряжения: - закон Ома для переменного тока Результирующее колебание: U = U 0 sin ( t + ) Фаза: lLlL

Полное сопротивление цепи: Х = - реактивное сопротивление R – активное (омическое) сопротивление R – активное сопротивление отвечает за потерю мощности в цепи. X – реактивное сопротивление, определяет величину энергии пульсирующей в цепи с частотой 2ω.

Элементы цепи и соответствующие им импедансы : Закон Ома в комплексной форме - параллельного Импеданс соединений: - последовательного

5. Работа и мощность переменного тока 1. При наличии только активного сопротивления: (вся работа переходит в тепло): Напряжение на концах участка цепи: U = U 0 sin t Переменный ток в цепи: I = I 0 sin t Мгновенное значение мощности: P t = IU = I 0 U 0 sin 2 t

Работа переменного тока за dt: A = P t dt = I m U m sin 2 t dt Работа переменного тока за период Т: Cредняя мощность или Действующие (или эффективные) значения тока и напряжения:

При наличии реактивного сопротивления - колебания мгновенной мощности с переменой знака (средняя мощность уменьшается) Работа переменного тока за период Т: Cредняя мощность: cos - коэффициент мощности. При cos = 0 Р = 0