Правила построения сечения многогранников (тетраэдров) Сечения многогранников плоскостью используются при решении многих стереометрических задач. Сухорукова Фарида Римовна, учитель информатики и математики МОУ СОШ 1 г. Волжска РМЭ

A B C D M Сечение проведено через ребро АВ и точку М ребра СD

D C A B M N Сечение проведено через вершину D и точки M и N на ребрах АВ и ВС.

A D C B M N Q P Сечение проведено через вершину С и точки М и N на гранях АСD и АВС

В каждом из этих случаев построение сечения основано на простом следствии из аксиом стереометрии: Если две плоскости имеют две общие точки, то прямая, проведенная через эти точки, является прямой пересечения данных плоскостей.

Рассмотрим сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М ребра АВ параллельно грани АСD. Построение сечения основано на том, что если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые, которые являются линиями пересечения параллельны.

А D С В М АD= (АВD) (АСD), значит, линия пересечения (АВD) и α параллельна прямой АD. P MP ІІ AD Аналогично строим MN ІІ AC. N Соединяем точки P и N. (MNP) - искомое сечение. Сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М ребра АВ параллельно грани АСD. Обозначим искомую секущую плоскость через α. (АВD) пересекает параллельные плоскости α и (АСD).

Сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки M, N, P на ребрах тетраэдра. A D B C M N P S Соединяем точки M, N и N, P Точка Р – общая для плоскостей MNP и ABC. Вторую общую точку находим в пересечении прямых MN и AC. Прямая SP- линия пересечения плоскостей MNP и ABC. Пересечение этой прямой с ребром АВ дает вершину искомого сечения точку Q. Q Соединяем точки Q, P и Q, M

Сечение тетраэдра плоскостью, параллельной ребру АС и проходящей через точку М ребра СD и точку N в грани АВС. Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Построение основано на следующей теореме:

Сечение тетраэдра плоскостью, параллельной ребру АС и проходящей через точку М ребра СD и точку N в грани АВС. A D B C М N Обозначим плоскость сечения через α. Плоскость АСD имеет с плоскостью α общую точку М и содержит прямую АС, параллельную плоскости α. Т.о., прямая пересечения этих плоскостей проходит через точку М и параллельно прямой АС. Р РМ ІІ АС Проведем прямую РN и найдем точку Q Q Плоскость АВС также содержит прямую АС, параллельную плоскости сечения. R QR ІІ АС. Соединяем М и R.

A D B C В зависимости от расположения точки N сечение может строиться и по-другому. М N P Q

Рассмотрим наиболее сложные задачи, в которых для нахождения сечения приходится ряд построений проводить вне плоскостей граней. Сечение тетраэдра АВСD плоскостью MNP, где точки M, N, P расположены соответственно на ребре АD, в грани BCD и в грани АВС тетраэдра, причем MN не ІІ ABC. A D B C M N P S1S1 S 1. Проведем прямую DN, точку пересечения с ВС обозначим S 1 2. Проведем прямые АS 1 и MN, точку пересечения обозначим S 3. Проведем прямую РS, точки пересечения с ВС обозначим Q, с АВ - R 4. Проведем прямую NQ, точку пересечения с CD обозначим K Q R K Искомое сечение MKQR

A D B C Сечение тетраэдра по трем точкам: М лежит в грани АВС, N – в грани BCD, Р – в грани ACD N M P S1S1 1. Проведем прямую ВМ, точку пересечения с АС обозначим S 1 2. Проведем прямую ВN, точку пересечения с СD обозначим S 2 S2S2 3. Проведем прямые МN и S 1 S 2, точку пересечения обозначим S S 4. Проведем прямую SР, точку пересечения с CD обозначим Q, c AD – R Q R 5. Проведем прямую QN, точку пересечения с CB обозначим K K 6. Проведем прямую KM, точку пересечения с AB обозначим F F QRFK – искомое сечение.

В рассмотренных примерах для построения точки пересечения прямой МN с плоскостью грани тетраэдра была проведена вспомогательная плоскость через эту прямую и одну из вершин тетраэдра. Такой же прием для нахождения точки пересечения прямой и плоскости можно использовать и в других случаях. В пирамиде, в частности в тетраэдре, вспомогательную плоскость удобно проводить через данную прямую и через вершину.