Уравнение кассательной к графику функции

В у х 0 Повторение: вычисление тангенса угла наклона прямой к оси Ох А С y = k x у х Очевидно – при параллельном переносе прямой, тангенс угла наклона остаётся равен угловому коэффициенту прямой

у = f(x) С В кассательная Касательной к графику функции y = f(x) в точке А( х 0 ; f (х 0 ) ) называется прямая, представляющая предельное положение секущей АС, (если оно существует) когда точка С стремится к точке А. секущая у х 0 Определение кассательной к графику функции A α k сек. = tg β

х y 0 Секущая стремится занять положение кассательной. То есть, кассательная есть предельное положение секущей. Касательная Секущая Задача о нахождении углового коэффициента кассательной Δ х 0 k касс. = lim k сек. = lim lim tg β = tg α Δ х 0 = k сек. y = kx + b

Уравнение кассательной y = kx + b k = f / (x 0 ) y = f / (x 0 ) · x + b f(x 0 ) = f / (x 0 ) · x 0 + b b = f(x 0 ) f / (x 0 ) · x 0 y = f / (x 0 ) · x + f(x 0 ) f / (x 0 ) · x 0 y = f(x 0 ) + f / (x 0 ) · (x x 0 )

Итак: Уравнение кассательной имеет вид: y = f(x o ) + f '(x o )( x – x o )

Алгоритм Найти значение функции в точке х о Вычислить производную функции Найти значение производной функции в точке х о Подставить полученные числа в формулу y = f(x o ) + f '(x o )( x – x o ) Привести уравнение к стандартному виду y = kx + b

Решение задачи. Составьте уравнение кассательной к графику функции в точке M( 3; – 2). y = f(x o ) + f '(x o )( x – x o )

Написать уравнения всех кассательных к графику функции у = х 3 3 х параллельных прямой у = 9 х + 1 Решение. 1. Найдём х 0. Ответ: Решение задачи. Пусть х 0 = а. k = 9 = у'(х 0 ). 2. у'(х ) = 3 х 2 6 х; 3. у'(х 0 ) = у'(a ) = 3 a 2 6 a; 4. 3 a 2 6 a = 9; a 2 2a = 3; a 2 2a 3 = 0; a 1 = 1; a 2 = х 0 = 1; х 0 = 3. Дальше – по алгоритму.

Геометрический смысл производной. Производная функции в точке x 0 равна угловому коэффициенту кассательной к графику функции y = f(x) в этой точке.