Решение тригонометрических уравнений и неравенств Решение тригонометрических уравнений и неравенств Автор: Семенова Елена Юрьевна

Определение арксинуса Арксинусом числа а называется такой угол из промежутка [ 0,5π; 0,5π], синус которого равен а, где l а l 1. Арксинусом числа а называется такой угол из промежутка [ 0,5π; 0,5π], синус которого равен а, где l l l lаl 1. arcsin a = t, sin t = a где t [ 0,5π; 0,5π] а [ 1; 1] arcsin a = t, sin t = a где t [ 0,5π; 0,5π] а [ 1; 1] sin(arcsin a ) = a, а [ 1; 1] sin(arcsin a) = a, а [ 1; 1] arcsin(sin t ) = t, t [ 0,5π; 0,5π] arcsin(sin t) = t, t [ 0,5π; 0,5π]

Уравнение sin t = а 1 1 x x у у 0 0 аа arcsin a π arcsin a 1 1 tt π tπ tπ tπ t π tπ tπ tπ t

t = arcsin a + 2πn, n Z t = π arcsin a + 2πn, n Z t = arcsin a + 2πn, n Z t = π arcsin a + 2πn, n Z t = (1) n arcsin a + πn, n Z Уравнение sin t = а C учетом периодичности: Объединив в одну формулу: Пример

1 частный случай 0 0 x x 0 0 π π t = πn, n Z sin t = 0 y y

2 частный случай 1 1 x x sin t = t = + 2πn, n Z π π 2 2 y y π π 2 2

3 частный случай x x y y t = + 2πn, n Z π π π π 2 2 sin t = 1 sin t =

Определение арккосинуса Арккосинусом числа а называется такой угол из промежутка [ 0; π], косинус которого равен а, где l а l 1. Арккосинусом числа а называется такой угол из промежутка [ 0; π], косинус которого равен а, где l l l lаl 1. arccos a = t, cos t = a где t [ 0; π] а [ 1; 1] arccos a = t, cos t = a где t [ 0; π] а [ 1; 1] cos(arccos a ) = a, a [-1; 1] arccos(cos t ) = t, t [ 0; π]

Уравнение co s t = а 1 1 x x у у 0 0 а arccos a arccos a arccos a 1 1 t t

t = arccos a + 2πn, n Z t = arccos a + 2πn, n Z t = arccos a + 2πn, n Z t = arccos a + 2πn, n Z t = arccos a + 2πn, n Z t = arccos a + 2πn, n Z Уравнение cos t = а C учетом периодичности: Объединив в одну формулу: t = arccos a + 2πn, n Z + + Пример

1 частный случай 1 1 x x cos t = 0 y y π π 2 2 π π 2 2 t = + πn, n Z π π 2 2

2 частный случай 0 0 x x cos t = t = 2πn, n Z y y

3 частный случай 1 1 x x 0 0 π π 1 1 y y 1 1 t = π + 2πn, n Z 1 1 cos t = 1

Определение арктангенса Арктангенсом числа а называется такой угол из промежутка ( 0,5π; 0,5π), тангенс которого равен а. Арктангенсом числа а называется такой угол из промежутка ( 0,5π; 0,5π), тангенс которого равен а. arctg a = t, tg t = a где t ( 0,5π; 0,5π) arctg a = t, tg t = a где t ( 0,5π; 0,5π) tg(arctg a ) = a tg(arctg a) = a arctg(tg t ) = t, t ( 0,5π; 0,5π) arctg(tg t) = t, t ( 0,5π; 0,5π) arctg ( a ) = arctg a arctg (a) = arctg a

arctg a Уравнение tg t = а 1 1 x x у у 0 tt Линия тангенсов а t = arctg a + πn, n Z Пример

Определение арккотангенса Арккотангенсом числа а называется такой угол из промежутка (0; π), котангенс которого равен а. Арккотангенсом числа а называется такой угол из промежутка (0; π), котангенс которого равен а. arcсtg a = t, сtg t = a где t (0; π) arcсtg a = t, сtg t = a где t (0; π) сtg(arсctg a ) = a сtg(arсctg a) = a arcсtg(сtg t ) = t, t (0; π) arcсtg(сtg t) = t, t (0; π) arсctg ( a ) = π arcсtg a arсctg (a) = π arcсtg a

arcсtg a Уравнение с tg t = а 1 1 x x у у 0 0 tt Линия котангенсов аа t = arcсtg a + πn, n Z Пример

Примеры 1. Пример 1. sin x = Пример 1. sin x = Пример 1. Пример 2. Пример 2. cos x = Пример 2. Пример 3. Пример 3. tg x = 1 Пример 3. Пример 4. Пример 4. ctg x = Пример 4. Пример 1. Пример 1. sin x = Пример 1. sin x = Пример 1. Пример 2. Пример 2. cos x = Пример 2. Пример 3. Пример 3. tg x = 1 Пример 3. Пример 4. Пример 4. ctg x = Пример

Пример 1 sin x = Пример 1 sin x = x = (1) n arcsin + πn, n Z x = (1) n+1 arcsin + πn, n Z x = (1) n+1 + πn, n Z π π 3 3 Ответ: (1) n+1 + πn, n Z π π 3 3

Пример 2 cos x = x = arccos + 2πn, n Z x = + 2πn, n Z π π Ответ: + 2πn, n Z π π

Пример 3 tg x = 1 x = arctg ( 1) + πn, n Z π π 4 4 x = + πn, n Z x = arctg 1 + πn, n Z Ответ: + πn, n Z π π 4 4

Пример 4 сtg x = π π 6 6 x = + πn, n Z Ответ: + πn, n Z π π x = arсctg + πn, n Z 3 3

-2π 0 0 2π2π 2π2π 1 1 Неравенство sin x a y = а y = sin x y y x x a a arcsin a -π-arcsin a π-arcsin a 2π+arcsin a -2π+arcsin a sin x a π π -π-π -π-π

Неравенство sin x a arcsin a + 2πn x π arcsin a + + 2πn, n Z arcsin a + 2πn x π arcsin a + + 2πn, n Z arcsin a x π arcsin a arcsin a x π arcsin a C учетом периодичности: C учетом периодичности: Ответ: [arcsin a + 2πn; π arcsin a + 2πn], n Z Ответ: [arcsin a + 2πn; π arcsin a + 2πn], n Z

Неравенство cos x < a y = а y = cos x y y x x 0 0 a a arccos a 2πarccos a 2π +arccos a 2πarccos a cos x < a π π -π-π -π-π 2π2π 2π2π -2π

Неравенство cos x < a arccos a + 2πn < x < 2π arccos a + + 2πn, n Z arccos a + 2πn < x < 2π arccos a + + 2πn, n Z arccos a < x < 2π arccos a arccos a < x < 2π arccos a C учетом периодичности: C учетом периодичности: Ответ: (arccos a + 2πn; 2π arccos a + 2πn), n Z Ответ: (arccos a + 2πn; 2π arccos a + 2πn), n Z

2π2π 2π2π Неравенство tg x > a y = tg x y y x x a a y = а 0 0 π π 2 2 π π π3π 3π3π 2 2 π π -2π 3π3π 3π3π π-π -π-π arctg a π+arctg a 2π+arctg a -π+arctg a -2π+arctg a -π+arctg a tg x > a

Неравенство tg x > a C учетом периодичности: C учетом периодичности: Ответ: Ответ: arctg a < x < π π 2 2 arctg a + πn < x < + πn, n Z π π 2 2 (arctg a + πn; + πn), n Z π π 2 2

Неравенство c tg x a y y a a ctg x a x x 0 0 y = а y = ctg x 2π2π 2π2π π π -π-π -π-π -2π arcctg a π+arcctg a -2π+arcctg a -π+arcctg a 2π+arcctg a π -π-π -π-π π π 2π2π 2π2π

Неравенство c tg x a C учетом периодичности: C учетом периодичности: Ответ: Ответ: arcctg a x < π arcctg a + πn < x < π + πn, n Z [arctg a + πn; π+ πn), n Z

Примеры Пример 1. Пример 1. sin x Пример 1. sin x Пример 1. Пример 2. Пример 2. sin x < Пример 2. sin x < Пример 2. Пример 3. Пример 3. cos x Пример 3. cos x Пример 3. Пример 4. Пример 4. cos x > Пример

- - 3π3π 3π3π 2 2 3π3π 3π3π 2 2 π π y = 0,5 y = sin x y y x x 0, Пример 1: sin x Пример 1: sin x π π 6 6 5π5π 5π5π π 6 6 7π7π 7π7π π π π 2 2

C учетом периодичности: C учетом периодичности: Пример 1: sin x x x π π 6 6 5π5π 5π5π 6 6 π π πn x + 2πn, n Z 5π5π 5π5π 6 6 Ответ: Ответ: π π πn; + 2πn, n Z 5π5π 5π5π 6 6

-2π -π-π -π-π 2π2π 2π2π π π Пример 2: sin x < Пример 2: sin x < y y x x π π π2π 2π2π π4π 4π4π 3 3 7π7π 7π7π 3 3 7π7π 7π7π

C учетом периодичности: C учетом периодичности: < x < 2π2π 2π2π 3 3 π π 3 3 π π πn < x < + 2πn, n Z 2π2π 2π2π 3 3 Ответ: Ответ: Пример 2: sin x < π π πn; + 2πn, n Z 2π2π 2π2π 3 3

Пример 3: cos x. y = 0,5 y = cos x y y x x 0 0 0,50,5 0,50,5 π π -π-π -π-π 2π2π 2π2π -2π cos x π π π π 3 3 5π5π 5π5π π5π 5π5π π7π 7π7π 3 3 7π7π 7π7π 3 3

C учетом периодичности: C учетом периодичности: x x 5π5π 5π5π 3 3 π π 3 3 π π πn x + 2πn, n Z 5π5π 5π5π 3 3 Ответ: Ответ: Пример 3: cos x π π πn; + 2πn, n Z 5π5π 5π5π 3 3

Пример 4: cos x >. y = cos x x x y = π π 4 4 π π π π -π-π -π-π 7π7π 7π7π π7π 7π7π π9π 9π9π 4 4 9π9π 9π9π 4 4 y y

C учетом периодичности: C учетом периодичности: Ответ: Ответ: Пример 4: cos x >. < x < π π 4 4 π π 4 4 π π πn < x < + 2πn, n Z π π π π πn; + 2πn, n Z π π 4 4