Задания - B4 ЕГЭ-2010 Авторы работы: Еронина Татьяна и Маменкова Татьяна, учащиеся 11 Б класса МОУ Богатовская СОШ «Образовательный центр» муниципального района Богатовский Самарской области Руководитель: Уланова М.В., учитель математики

B4 проверяет умение выполнять действия с геометрическими фигурами, действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами координатами и векторами

Вспомним формулы a = с * sin α b = c * cos α a = b * tg α a = с * sin α b = c * cos α a = b * tg α sin α = a/c cos α = b/c tg α = a/b sin α = a/c cos α = b/c tg α = a/b tg α = sin α / cos α tg α = sin α / cos α sin 2 A + cos 2 A = 1 sin 2 A + cos 2 A = 1 1+tg 2 A=1/cos 2 A 1+tg 2 A=1/cos 2 A

Задача 1 В равнобедренном треугольнике ABC (сторона АС – основание) В равнобедренном треугольнике ABC (сторона АС – основание) cosA = 4/5, высота BH равна 12. Найти АС. cosA = 4/5, высота BH равна 12. Найти АС.

I способ Дано: BH = 12 Найти: АС = ? Cos A = AH/AB sin 2 A + cos 2 A=1 Sin 2 A = 1 - (4/5) 2 Sin 2 A = 1 – 16/25 Sin 2 A = 9/25 Sin A = 3/5 Sin A = BH/AB 3/5 = 12/AB

AB = 12*5/3 = 20 AH 2 = AB 2 – BH 2 AH 2 = 20 2 – 12 2 AH 2 = 400 – 144 AH 2 = 256 AH = 16 AC = 2 * 16 = 32 Ответ: 32

II способ 1 + tg 2 A = 1/cos 2 A 1+ tg 2 A = 1/(4/5) tg 2 A = 1/16/ tg 2 A = 25/16 tg 2 A = 25/ tg 2 A =9/16 tgA = 3/4 tgA = BH/AH ¾ = 12/AH AH = 4*12/3 = 16 AC = 2 * 16 = 32 Ответ: 32

Задача 2 В треугольнике АВС АС=ВС, АВ=6, sin A = 4/5. Найдите АС. Дано: АВ = 6 Sin A = 4/5 Найти: АС = ?

AH = 6:2 = 3 Sin 2 A + cos 2 A = 1 cos 2 A = 1 – (4/5) 2 cos 2 A = 16/25 – 1 cos 2 A = 9/25 cosA = 3/5 cosA = AH/AC 3/5 = 3/AC AC = 5 Ответ : 5 Ответ : 5

Задача 3 В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC боковая сторона AB равна 8, а Cos A = 7/4. Найдите высоту, проведенную к основанию. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC боковая сторона AB равна 8, а Cos A = 7/4. Найдите высоту, проведенную к основанию. Дано: АВ = 8 cosA = 7/4 Найти: ВH = ?

cosA = AH/AB AH = cosA*AB AH = 8*7/4 AH = 27 По теореме Пифагора: AH 2 + BH 2 = AB 2 BH 2 = AB 2 – AH 2 BH 2 = 8 2 – (27) 2 BH 2 =64-28 BH 2 = 36 BH = 6 Ответ: 6

Задача 4 В треугольнике ABC ВС=AC=22, угол C равен 45 o. Найдите высоту AH. Дано: ВС=AC=22 угол C = 45 o Найти: АH = ?

sin 45 o = 2/2 sin C = AH/AC 2/2 = AH/22 AH = 2*2/2 AH = 2 Ответ: 2

Задача 5 В треугольнике ABC AC=BC, угол C равен 120 o, AB=2 3. Найдите AC. В треугольнике ABC AC=BC, угол C равен 120 o, AB=2 3. Найдите AC. Дано: ВС=AC угол C = 120 o AB=2 3 Найти: АH = ?

1. AH = AB/2 =2 3/2= 3 2. угол HCA = 1/2 угол BCA=120 o * ½ = 60 o угол A = 30 o 3. AC = AH/sin 60 o = 3/3/2 = 3*2/3 = 2 Ответ: 2

Задача 6 В треугольнике ABC угол C равен 90 o, CH высота,AH=18, tgA= 1/3. Найдите BH. Дано: tgA= 1/3 угол C = 90 o AH=18Найти: BH = ?

CH=AH*tgA CH=18*1/3 = 6 Согласно теореме пропорциональности отрезков в прямоугольном треугольнике: Согласно теореме пропорциональности отрезков в прямоугольном треугольнике:BH/CH=CH/AH CH 2 =BH*AH – теорема BH=CH 2 /AH = 36/18 = 2 Ответ: 2

Задача 7 В тупоугольном треугольнике ABC AB=BC, CH высота,AB=15,BH=3 21. Найдите синус угла ABC. Дано:AB=15 BH=3 21 Найти: sinABC = ?

1. CH = = 36 = 6 2. Sin α = CH/CB = 6/15 = 2/5 3. sinABC = sin(180- α) = = sin α =2/5 = sin α =2/5 Ответ: 0,4

Задача 8 В тупоугольном треугольнике ABC AB=BC, CH высота,AB=20,BH=12. Найдите синус угла ABC. Дано:AB=20BH=12Найти: sinABC = ?

1. По теореме Пифагора: BH 2 + CH 2 = BC 2 CH = BC 2 - BH 2 = =16 2. Sin α = CH/CB = 16/20 = 4/5 3. sinABC = 180 o – α sinABC = sin(180- α)= sin α = sinABC = sin(180- α)= sin α = = 4/5 Ответ: 0,8

Задача 9 В треугольнике ABC AB=BC=15,AB=6 21. Найдите синус внешнего угла при вершине B. Дано:AB=BC=20 AB= 6 21 Найти: sinCBN = ?

1. BH = AB/2 = 6 21/2= CH= BC 2 -BH 2 = = = 36 = 6 3. sinCBN = HC/BC = 6/15 = 2/5 4. sinCBN = sin(180- α)= sin α = = 2/5 Ответ: 0,4

Задача 10 В параллелограмме ABCD высота, опущенная на сторону AB равна 3,AD=4. Найдите синус угла B. Дано:DH=3 AD= 4 Найти: sinB = ?

sinA=3/4 угол B = угол A sinB = sin(180- A)= sin A = = 3/4 Ответ: 0,75

Задача 11 Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 12. Боковые стороны равны 5. Найдите синус острого угла трапеции. Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 12. Боковые стороны равны 5. Найдите синус острого угла трапеции. Дано:AB=12 DC= 6 AD=CB=5Найти: sinA = ?

1. AH = AB - AD/2 = 12-6/2=3 2. DH= DA 2 -AH 2 = =25-9 = 16 = 4 3. sinA = DH/AD = 4/5 = 0,8 Ответ: 0,8

Задача 12 Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 12. Боковые стороны равны 5. Найдите синус острого угла трапеции. Дано:AB=12 sinA=0,8 AD=CB=5 Найти: DC= ?

1. DH = AD* sinA = 5*0,8=4 2. AH= AD 2 -DH 2 = =25-16 = 9 = 3 AH = NB = 3 3. DC = AB – 2AH = 12 – 6 =6 Ответ: 6

Задача 13 Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 6. Высота трапеции равна 10. Тангенс острого угла равен 2. Найдите большее основание. Дано:DC=6tgA=2DH=10Найти: AB= ?

1. DH = AH* tgA AH = DH/tgA = 10/2 = 5 AH = NB = 5 2. AB = DC + 2AH = 6+10 = 16 Ответ: 16