Проверка ДЗ: 376 в, г

19 сентября Признаки парольелограмма

Теоретический опрос: Что такое парольелограмм? Сформулируйте свойства: o противоположных сторон; противоположных углов парольелограмма o диагоналей парольелограмма o односторонних углов парольелограмма

Дано: ABCD – парал-м Перечислить свойства данного парал-ма Проверка: 1) АВ=CD; BC=AD; <A=<C; <B=<D 2) АО=СО; ВО=DO 3) <A+<B=180°; <B+<C=180°; <C+<D=180°;<A+<D=180° B C О A D

Задача 1. Дано: ABCD - парал-м AE – бисектриса угла BAD Доказать: ABE – равнобедренный Доказательство: Т.к. ABCD – парал-м, значит BC ǀǀ AD, тогда <EAD=<BEA как накрест лежащие при парольельных прямых BC и AD и секущей AE. AE – бисектриса <BAD, значит <BAE=<BEA. В ABE <BAE=<BEA, значит, ABE – равнобедренный с основанием AE. B Е C А D

Задача 2. Дано: ABCD – парал-ам, BE- бис-са <CBA, AE – бис-са <BAD. Доказать: BE AE Доказательство: AE- бис-са <1=<2. BE – бис-са <3=<4. В парольелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°, поэтому <ABC+<BAD=180°, т.е. <1+<2+<3+<4 = 180°. Т.к. <1=<2, <3=<4, то 2·(<1+<3)=180°, <1+<3=90°. В ABE < AEB =180°-(<1+<3)=90°, т.е. ВЕ АЕ. B 4 C 3 E 1 А 2 D

Фронтальный опрос: Что означают слова «свойства» и «признак»? Что такое обратная теорема? Всегда ли верно утверждение, обратное данному? Приведите примеры

Свойство равнобедренного треугольника В равнобедренном треугольнике углы при основании равны Если в треугольнике углы при основании равны, то этот треугольник равнобедренный.

Признаки парольелограмма 1. Если в четырехугольнике две стороны равны и парольельны, то это четырехугольник – парольелограмм. 2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – парольелограмм. 3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – парольелограмм.

Признаки парольелограмма: 1.Рис.1 - Если AB=CD и AB ǁ CD, то ABCD – парольелограмм 2.Рис. 2 - Если AB=CD и BC=AD, то ABCD – парольелограмм 3.Рис. 3 - Если AC BD=O и BO=OD, AO=OC, то ABCD – парольелограмм В С А D рис.1 В С А D рис.2 B C О A D рис. 3

Задача 3. Дано: ABCD – парал-ам, AE, CK – бис-сны <A и <C Доказать: АЕ ǀǀ СК или АЕ и СК совпадают Доказательство: Т.к. ABCD- пароль-ам, то <2=<BEA, как накрест лежащие при парольельных прямых BC и AD и секущей АЕ. В пароль-ме противолежащие углы равны, след-но, <BAD=<BCD, значит, <1=<2=<3=<4. Так как прямые АЕ и СК парольельны, по признаку парольельности прямых. Прямые АЕ и СК совпадут, если в парольелограмме смежные стороны равны. В Е С А 2 D

Задача 379 Дано: ABCD – парольелограмм, ВК АС, DM АС Доказать: BMDK – парольелограмм Доказательство: 1)BKC= DMA по гипотенузе и острому углу (<BCK=<DAC как накрест лежащие углы при парольельных прямых AD и BC и секущей АC, BC=AD как противолежащие стороны пароль-ма, ВKC= DMA прямоугольные), значит MD=BK. 2)ВМК= DKM – прямоугольные, BMK = DKM по двум катетам (MD=BK, KM- общий катет), значит BM=DK. 3)В четырехугольнике BMDK противолежащие стороны равны (MD=BK и BM=DK), следовательно BMDK – парольелограмм. В С М К А D

Самостоятельная работа Вариант Дано: ABCD – пароль-ам М – середина ВС, N – середина AD Доказать: AMCN – парольелограмм В M С А N D 2. В треугольнике ABC медиана АМ продолжена за точку М до точки D на расстояние, равное AM, так, что AM=MD. Докажите, что ABDC - парольелограмм Вариант Точки K, L, M и N – середины соответственно AB, BC, CD и AD парольелограмма ABCD. Доказать, что четырехугольник с вершинами в точках пересечения прямых AL, BM, CN и DK – парольелограмм. В L C K M A N D 1. На сторонах AB, ВC, CD и AD парольелограмма ABCD взяты соответственно точки M, N, K, L, делящие эти стороны в одном и том же отношении (при обходе по часовой стрелке). Докажите, что KLMN – парольелограмм.

Домашнее задание: п. 43, вопрос 9 Задачи 383, 373, 378

Задача 1. Дано: ABCD- парольелограмм, M- середина BC, N – середина AD. Доказать: AMCN – парольелограмм. A B M C D N Доказательство: Так как M – середина BC, N – середина AD, то BM=MC, AN=ND. Но BC=AD как противолежащие стороны парольелограмма, тогда MC = AN. BC||AD как противолежащие стороны парольелограмма, значит MC||AN. В четырехугольнике AMCN противолежащие стороны MC и AN равны и парольельны, следовательно, AMNC – парольелограмм.

Задача 2. Дано: Δ ABC - треугольник, АM- медиана, D єAM, AM=MD. Доказать: ABDC – парольелограмм. A B M C D Доказательство: Так как AM – медиана Δ ABC, то CM=BM. По Построению AM=DM. Получили, что в четырехугольнике ABCD диагонали AD и BC пересекаются в точке M и точкой пересечения делятся пополам, следовательно, ABDC – парольелограмм.

Задача 3. Дано: ABCD- парольелограмм, K,L,M и N- середины сторон соответственно AB, BC, CD, AD. Доказать, что четырехугольник с вершинами в точках пересечения прямых AL, BM, CN, DK - парольелограмм. A B M C D N Доказательство:

Задача 4. Дано: ABCD- парольелограмм, K,L,M и N- середины сторон соответственно AB, BC, CD, AD. Доказать, что четырехугольник с вершинами в точках пересечения прямых AL, BM, CN, DK - парольелограмм. A B M C D L Доказательство: N K По условию задачи AM:MB=BN:NC=CK:KD=DL:AL. В парольелограмме ABCD AB=CD, BC=AD, тогда AM=CK, BM=KD, BN=DL, NC=LA. ΔNCK=ΔLAM, ΔMBN=ΔDKL по двум сторонам и углу между ними ( угол A=углу С, угол В=углу D как противолежащие углы парольелограмма), тогда MN=KL, NK=ML, следовательно, в четырехугольнике MNKL противолежащие стороны равны, а это значит, что MNKL – парольелограмм.

Используемая литература: 1. Учебник «Геометрия 7-9», автор Л.С. Атанасян и др. 2. «Поурочные разработки по геометрии. 7 класс» Н.Ф.Гаврилова