Общие методы решения уравнений 11 класс (УМК А. Г. Мордковича 2011 г, профильный уровень) Учитель математики: Кайгородова С. А. Заринск 2013

27.32 Решите уравнение а) sin²x+cos²2x=1, sin²x+(1-2sin²x)²=1, sin²x +1-4 sin²x+4 sin x-1=0, -3 sin²x+4 sinx=0, sin²x(-3+4sin²x)=0, sin x=0 или -3+4sin²x=0, x=πk, kZ sin²x=3/4, sinx=3/2 или sinx= -3/2

27.33 Решите уравнение cos5x+cos7x-cos7x=0, Воспользуемся формулой cosx+cosy=2cos((x+y)/2)·cos((x-y)/2) 2cos6x·cosx-cos6x=0, cos6x(2cosx-1)=0, cos6x=0 или 2cosx-1=0, 6 х=π/2+πk, kZ, cosx=1/2, x=π/12+πk/6, kZ x=±π/3+2πk, kZ Ответ: π/12+πk/6; ±π/3+2πk, kZ

27.34 Решите уравнение cos6x-cos2x+cos8x-cos4x=0 Воспользуемся формулой cosx-cosy= -2sin((x+y)/2)sin((x-y)/2) -2sin4x·sin2x+(-2sin6x·sin2x)=0, -2sin2x(sin4x+sin6x)=0, sin2x=0 илиsin4x+sin6x=0, 2x=πk, kZ 2sin5x·cosx=0, x=πk/2, kZ sin5x=0 или cosx=0, 5x=πk, kZ, x= π/2+πk, kZ, x= πk/5, kZ. Ответ: πk/2, πk/5, kZ.

27.35 Решите уравнение 3tg²x-8=4cos²x, 3-3cos²x-8cos²x=4cos x, 4cos x+11cos²x-3=0. Пусть cos²x=t, 0 t 1 4t²+11t-3=0, t =1/4, t = -3 не удовлетворяет условию 0t1 cos²x=1/4, cosx=±1/2, x =±π/3+2πk, x =±2π/3+2πk, kZ

27.36 Решите уравнение sin³x-sin²x·cosx+3cos³x=3sinx·cos²x Однородное уравнение третьей степени, делим на cos³x0 tg³x-tg²x+3-3tgx=0, tg³x-tg²x-3tgx+3=0, tg²x(tgx-1)-3(tgx-1)=0, (tgx-1)·(tg²x-3)=0, tgx-1=0 или tg²x-3=0, tgx=1, tgx=±3, x=π/4+πk, kZ x=±π/3+πk, kZ Ответ: π/4+πk, ±π/3+πk, kZ

27.37 Решите уравнение sinx·cosx-6sinx+6cosx+6=0, sinx·cosx-6(sinx-cosx)+6=0, Пусть sinx-cosx=t, тогда (sinx-cosx)² = t², sin²x-2sinx·cosx+cos²x=t², 1- 2sinx·cosx=t², 1-t²= 2sinx·cosx, (1-t²)/2= sinx·cosx Получаем уравнение: (1-t²)/2-6t+6=0

(1-t²)/2-6t+6=0, 1-t²-12t+12=0, t²+12t-13=0, t =1 или t = -13 Перейдём к переменной х: sinx-cosx=1 или sinx-cosx=-13 Полученные уравнения решите самостоятельно. Ответ:π/2+2πk, π+2πk, k Z

До новых встреч!