Тема: « Задачи на построение сечений». Автор работы: Янаева Ольга Николаевна, учитель математики МБУ гимназии 35 г.о. Тольятти

1. Знать алгоритм решения задач методом «следов» и методом параллельного проецирования; 2. Уметь решать задачи на построение сечений; 3. Уметь применять алгоритм при решении задач на построение сечений;

Как построить сечение куба плоскостью, проходящей через три заданные точки?

ПРОВЕДИТЕ ВЗАИМОПРОВЕРКУ За верное решение каждой задачи поставьте 1 балл

Как построить сечение куба плоскостью, проходящей через три заданные точки?

ПРОВЕДИТЕ ВЗАИМОПРОВЕРКУ За верное решение задач 4 и 5 по 2 балла; За верное решение задачи 6 – 3 балла.

Номер задачи Баллы Отметка «5» - 10 баллов; Отметка «4» баллов; Отметка «3» баллов; Отметка «2» - менее 6 баллов. Итоги выполнения домашнего задания

* Секущей плоскостью многогранника называется такая плоскость, по обе стороны от которой есть точки данного многогранника. * Сечением многогранника называется фигура, состоящая из всех точек, которые являются общими для многогранника и секущей плоскости. Основные понятия Рис.1 Рис.2

* Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам, поэтому сечение многогранника есть многоугольник, лежащий в секущей плоскости. Очевидно, что количество сторон этого многоугольника не может превышать количества граней данного многогранника. Например (см.рис.3), в пятиугольной призме (всего 7 граней) в сечении могут получиться: треугольник, 4-угольник, 5-угольник, 6-угольник или 7-угольник. Рис.3

Две плоскости пересекаются по прямой (эта аксиома и дала названию метода – под «следом» понимается прямая пересечения какой-либо грани многогранника и секущей плоскости). Получение «следа» сводится к получению двух точек, принадлежащих одновременно какой-нибудь грани многогранника и секущей плоскости (подумайте, почему именно двух!?). Точки получаются как пересечение двух прямых, принадлежащих одной и той же плоскости. ПРИМЕЧАНИЕ. Не забудьте, что прямая и плоскость являются бесконечными в пространстве фигурами! Проследим на примере построение сечения куба плоскостью, заданной тремя данными точками M, N и K. Метод «следов»

A B C D B1B1 C1C1 D1D1 M N K Выбираем точки М и N, принадлежащие одной грани и строим прямую MN – «след» пересечения правой грани и секущей плоскости. A1A1 ПРИМЕР 1.

A B C D B1B1 C1C1 D1D1 M N K A1A1 E Теперь обращаем внимание, что ребро куба В 1 С 1 лежит в одной грани с третьей точкой сечения К (верхней) и в одной грани с появившейся прямой MN (правой). Находим точку пересечения этих прямых – точку Е. ПРИМЕР 1.

A B C D B1B1 C1C1 D1D1 M N K A1A1 E Точки Е и К принадлежат верхней грани и секущей плоскости. Значит, прямая ЕК – «след» их пересечения и F D 1 C 1, EK. F ПРИМЕР 1.

A B C D B1B1 C1C1 D1D1 M N K A1A1 E F Далее видим, что ребро куба А 1 В 1 лежит в одной грани с появившимся следом ЕК (верхней). Находим точку пересечения этих прямых – точку G. G ПРИМЕР 1.

A B C D B1B1 C1C1 D1D1 M N K A1A1 E F G Полученная точка G лежит в одной грани с точкой М (в передней) и обе точки принадлежат секущей плоскости – значит, прямая GM – очередной «след»! Причем, GM АА 1 =Н. H ПРИМЕР 1.

A B C D C1C1 D1D1 M N K A1A1 E F G H Остается соединить отрезками все пары точек, лежащие в секущей плоскости и в одной грани куба. Полученный пятиугольник MNFKH – искомое сечение куба. B1B1 ПРИМЕР 1.

Плоскость сечения может задаваться : * 1) тремя точками, не лежащими на одной прямой; * 2) прямой и точкой, не лежащей на ней; * 3) двумя пересекающимися прямыми; * 4) двумя параллельными прямыми. Все эти случаи можно свести к первому, выбирая на прямых удобные для нас точки.

* Данный метод построения сечений многогранников можно применять, если найдется хотя бы одна пара точек, лежащих в секущей плоскости и одной грани многогранника. После чего задача циклично алгоритмизируется в получение очередной точки и очередного «следа». * ПРИМЕЧАНИЕ. Если такой пары точек не найдется, то сечение строится методом параллельных проекций.

Построение: 1) MN 2) NK 3) MP ||NK 4) KH ||MN 5) PH 6) MNKHP- искомое сечение A B D C A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 N K M P H

Построение: 1) MN, NK 2) MN AD=X 3) XY ||NK 4) XY AB=P 5) XY BC=Q 6) MP,PQ 7) QH ||MN 8) KH 9) MNKHQP- искомое сечение A B D C A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 N K M P H X Y Q

A B D C A1A1 C1C1 D1D1 AB C D A1A1 D1D1 C1C1 B1B1 B1

Спасибо за урок!