Тема: Пирамида Выполнила: Эшимбекова Малика Группа ФП1-14

Общие сведения Пирамида (др.-греч. πυραμίς, род. п. πυραμίδος) многогранник, основаниие которого многоугольник, а остальные грани треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основаниия различают пирамиды треугольные (тетраэдр), четырёхугольные и т. д. Пирамида является частным случаем конуса

История развития пирамиды в геометрии Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Объем пирамиды был известен древним египтянам. Первым греческим математиком, кто установил, чему равен объём пирамиды, был Демокрит, а доказал Евдокс Книдский. Древнегреческий математик Евклид систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих «Начал», а также вывел первое определение пирамиды: телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке.

Элементы пирамиды апофема высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины (также апофемой называют длину перпендикуляра, опущенного из середины правильного многоугольника на одну из его сторон)[4]; боковые грани треугольники, сходящиеся в вершине; боковые ребра общие стороны боковых граней; вершина пирамиды точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основаниия; высота отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основаниия (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основаниие перпендикуляра); диагональное сечение пирамиды сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основаниия; основаниие многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Развёртка пирамиды Развёрткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга). Приступая к изучению развёртки поверхности, последнюю целесообразно рассматривать как гибкую, нерастяжимую плёнку. Некоторые из представленных таким образом поверхностей можно путём изгибания совместить с плоскостью. При этом, если отсек поверхности может быть совмещён с плоскостью без разрывов и склеивания, то такую поверхность называют развёртывающейся, а полученную плоскую фигуру её развёрткой.

Свойства пирамиды Если все боковые рёбра равны, то: вокруг основаниия пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр; боковые рёбра образуют с плоскостью основаниия равные углы; также верно и обратное, то есть если боковые рёбра образуют с плоскостью основаниия равные углы, или если около основаниия пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые рёбра пирамиды равны. Если боковые грани наклонены к плоскости основаниия под одним углом, то: в основаниие пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр; высоты боковых граней равны; площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основаниия на высоту боковой грани.

Теоремы, связывающие пирамиду с другими геометрическими телами.Сфера Около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основаниии пирамиды лежит многоугольник, вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им. Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу; В пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Для вычисления площади боковой поверхности правильной пирамиды существуют две формулы : Sб=12Pоснованиия hиSб=Sоснованиияcos ϕ, где P периметр основаниия, h апофема, ϕ двугранный угол при основаниии. Объём пирамиды V=13Sосн H, где H высота пирамиды. Обрати внимание! Не путай h апофему с H высотой пирамиды!

Правильная пирамида Правильная пирамида пирамида, в основании, которой лежит правильный многоугольник, а высота проходит через центр вписанной окружности в основаниие. h - высота пирамиды a - сторона основаниия пирамиды n - количество сторон многоугольника в основаниии V = na2h/12 tg(180°)n

Правильная треугольная пирамида Правильная треугольная пирамида пирамида, у которой основаниием является равносторонний треугольник и грани равные равнобедренные треугольники. h - высота пирамиды a - сторона основаниия пирамиды

Правильная четырехугольная пирамида пирамида, у которой основаниием является квадрат и грани равные равнобедренные треугольники. h - высота пирамиды a - сторона основаниия пирамиды V = 1/3ha2

Особые случаи пирамиды. Правильная пирамида. Пирамида называется правильной, если основаниием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основаниия. Тогда она обладает такими свойствами: боковые рёбра правильной пирамиды равны; в правильной пирамиде все боковые грани конгруэнтные равнобедренные треугольники; в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать вокруг неё сферу; если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна \pi, а каждый из них соответственно \frac{\pi}{n}, где n количество сторон многоугольника основаниия; площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основаниия на апофему.

Прямоугольная пирамида Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основаниию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.

Тетраэдр Тетраэдром называется треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основаниие пирамиды. Кроме того, существует большое различие между понятиями «правильная треугольная пирамида» и «правильный тетраэдр». Правильная треугольная пирамида это пирамида с правильным треугольником в основаниии (грани же должны быть равнобедренными треугольниками). Правильным тетраэдром является тетраэдр, у которого все грани являются равносторонними треугольниками.

Интересные факты Формула для расчёта объёма усечённой пирамиды была выведена раньше, чем для полной.

Пирамида Хеопса Пирамида Хеопса (Хуфу), Великая пирамида Гизы крупнейшая из египетских пирамид, единственное из «Семи чудес света», сохранившееся до наших дней. Пирамида Хеопса входит в комплекс самых крупных египетских пирамид, расположенных на плато Гиза. Это пирамиды Хеопса (Хуфу), Хефрена (Хафра) и Микерина (Менкаура). Архитектором Великой пирамиды считается Хемион, визирь и племянник Хеопса. Он также носил титул «Управляющий всеми стройками фараона». Более трёх тысяч лет (до постройки кафедрального собора в Линкольне, Англия, около 1300 года) пирамида являлась самой высокой постройкой на Земле.

Строительство Предполагается, что строительство, продолжавшееся двадцать лет, закончилось около 2540 года до н. э.Существующие методы датирования времени начала строительства пирамиды делятся на исторические, астрономические и радиоуглеродные. В Египте официально установлена и празднуется дата начала строительства пирамиды Хеопса 23 августа 2560 года до н. э. Данная дата получена с использованием астрономического метода Кейт Спенс (Университет в Кембридже). Однако не стоит считать эту дату истинным историческим событием, так как её метод и полученные с его помощью даты подвергались критике многих египтологов. Существующие три других метода датирования дают разные даты Стивена Хака (Университет Небраска) 2720 до н. э., Джуана Антонио Бельмонте (Университет астрофизики в Канарисе) 2577 до н. э. и Поллукса (Университет Баумана) 2708 до н. э. Радиоуглеродный метод даёт диапазон от 2680 до н. э. до 2850 до н. э. Поэтому установленному «дню рождения» пирамиды нет никаких серьёзных подтверждений, так как египтологи не могут сойтись в том, в каком именно году началось строительство.

Данные Высота (сегодня): 138,75 м Угол наклона боковой грани (сейчас): 51° 50' Длина бокового ребра (изначально): 230,33 м (по подсчётам) или около 440 королевских локтей Длина бокового ребра (сейчас): около 225 м Длина сторон основаниия пирамиды: юг 230,454 м; север 230,253 м; запад 230,357 м; восток 230,394 м Площадь основаниия (изначально): м² (5,3 га) Площадь боковой поверхности пирамиды (изначально): м² Периметр основаниия: 922 м Общий объём пирамиды без вычета полостей внутри пирамиды (изначально): 2,58 млн м³ Общий объём пирамиды, после вычета всех известных полостей (изначально): 2,50 млн м³ Средний объём каменных блоков: 1,147 м³ Средняя масса каменных блоков: 2,5 т Самый тяжёлый каменный блок: около 35 т расположен над входом в «Камеру царя». Количество блоков усреднённого объёма не превышает 1,65 млн (2,50 млн м³ 0,6 млн м³ скального основаниия внутри пирамиды = 1,9 млн м³/1,147 м³ = 1,65 млн блоков указанного объёма физически может поместиться в пирамиде, без учёта объёма раствора в межблочных швах). По подсчётам общий вес пирамиды: около 6,25 млн тонн Основание пирамиды покоится на природном скальном возвышении высотой в центре около 1214 м и занимает, по последним данным, минимум 23 % от первоначального объёма пирамиды

Группа американских археологов раскапывает древнюю пирамиду, расположенную глубоко под египетской пустыней. Когда они начинают исследовать внутренние помещения пирамиды, то безнадежно теряются в ее бесконечных темных катакомбах.