Тела вращения Цилиндр Цилиндр. Сечение. Вписанная и описанная призма. Конус. Сечение. Вписанная и описанная пирамида. Шар. Симметрия. Цилиндр

Цилиндр. Цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. кругов отрезков кругов отрезков

Элементы цилиндра Поверхность цилиндра Поверхность цилиндра Поверхность цилиндра Поверхность цилиндра Высота цилиндра Высота цилиндра Ось цилиндра Ось цилиндра Радиус цилиндра Радиус цилиндра

Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность составлена из образующих.

Радиусом цилиндра называется радиус его основания. Радиусом цилиндра называется радиус его основания.

Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований.

Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Она параллельна образующим.

Цилиндр как тело вращения Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон.

На рисунке изображен цилиндр, полученный вращением прямоугольника ABCD вокруг стороны AB. При этом боковая поверхность цилиндра образуется вращением стороны CD, а основание - вращением сторон BC и AD.

Свойства цилиндра Основания цилиндра равны. Основания цилиндра равны. Основания цилиндра лежат в параллельных плоскостях. Основания цилиндра лежат в параллельных плоскостях. Образующие цилиндра параллельны и равны Образующие цилиндра параллельны и равны

Сечения цилиндра плоскостями Сечение цилиндра плоскостью, параллельно его оси, представляет собой прямоугольник.

Теорема. Плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания.

Касательная плоскость к цилиндру Касательной плоскостью к цилиндру называется плоскость, проходящая через образующую цилиндра и перпендикулярная плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую.

Вписанная призма Призмой, вписанной в цилиндр, называется такая призма, у которой плоскостями оснований являются плоскости оснований цилиндра, а боковыми ребрами – образующие цилиндра.

Описанная призма. Призмой, описанной около цилиндра, называется призма, у которой плоскостями оснований являются плоскости оснований цилиндра, а боковые грани касаются цилиндра.

Площадь полной поверхности цилиндра Площадь боковой поверхности боковой поверхности боковой поверхности + Две площади основания Две площади основания

За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь ее развертки. Т.к. площадь прямоугольника ABBA равна AA*AB=2Пrh, AA*AB=2Пrh, то для вычисления площади боковой поверхности цилиндра радиуса r и высоты h получается формула Sбок=2Пrh Sбок=2Пrh

Площадь основания Площадь каждого основания равна

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле

Конус Конусом называется тело, которое состоит из круга – основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, - вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.

Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания.

Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту.

Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. На рисунке изображен конус, полученный вращением прямоугольного треугольника ABC2 вокруг катета AB. При этом боковая поверхность конуса образуется вращением гипотенузы AC2, а основание – вращением катета BC.

Сечения конуса плоскостями Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса.

Теорема. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность – по окружности с центром на оси конуса. Теорема. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность – по окружности с центром на оси конуса.

Усеченный конус Плоскость, параллельная основанию конуса и пересекающая конус, отсекает от него меньший конус. Оставшаяся часть называется усеченным конусом.

Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью называются основаниями усеченного конуса. А отрезок соединяющий их центры называется высотой усеченного конуса.

Касательная плоскость к конусу Касательной плоскостью к конусу называется плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярная плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую.

Площадь полной поверхности конуса Площадь боковой поверхности Площадь боковой поверхности + Площадь основания Площадь основания

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки. Т.к. площадь кругового сектора – развертки боковой поверхности конуса равна где - градусная мера дуги ABA, поэтому Выражая через и получаем. Т.о.

Площадь полной поверхности Площадь полной поверхности Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле: где L – длина окружности, r – радиус окружности.

Шар Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром шара.

Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности, называется радиусом. Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром.

Сфера может быть получена вращением полуокружности ACB вокруг ее диаметра AB как оси.

Сечение шара плоскостью Теорема. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость. Теорема. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Симметрия шара Теорема. Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии. Теорема. Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии.

Касательная плоскость к шару Плоскость, проходящая через точку А шаровой поверхности и перпендикулярная радиусу, проведенному в точку А, называется касательной плоскостью. Точка А называется точкой касания. Прямая в касательной плоскости шара, проходящая через точку касания, называется касательной к шару в этой точке.

Теорема. Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку – точку касания.