План: 1. Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл. 2. Методы интегрирования (по формулам, заменой переменной, по частям). 3. Понятие определенного интеграла. Формула Ньютона- Лейбница. 4. Применение определенного интеграла для вычисления площадей криволинейных фигур.

Определение: Функция F(х) называется первообразной функции f(х) на данном промежутке, если для всех х из этого промежутка. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределенного интеграла, а сам процесс называется интегрированием

Основное свойство первообразной Теорема: Если функция f(х) непрерывна при, то для f(х) существует первообразная F(х) на Х. Замечание 1: Условие непрерывности не является необходимым для существования первообразной. Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде F (x)+C, где F (x)-одна из первообразных для функции f (x) на промежутке I, а C- произвольная постоянная.

Три правила нахождения первообразных Правило 1. Если F есть первообразная для f, а G- первообразная для g, F+G есть первообразная для f + g. Правило 2. Если F есть первообразная для f, а k- постоянная, то функция k F –первообразная для kf. Правило 3. Если F (x) есть первообразная для f (x), а k и b - постоянные, причем k не равно 0, то 1/k F ( kx +b) есть первообразная для f (kx+b).

Таблица первообразных

Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределенного интеграла, а сам процесс называется интегрированием Определение: Множество всех первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается

Основные свойства неопределенного интеграла:

Таблица интегралов основных функций

Методы интегрирования (по формулам, заменой переменной, по частям). 1.Табличный. 2. Сведение к табличному преобразованием подынтегрального выражения в сумму или разность. 3. Интегрирование с помощью замены переменной (подстановкой). 4. Интегрирование по частям.

Табличный.

Сведение к табличному преобразованием подынтегрального выражения в сумму или разность.

Интегрирование методом замены переменной

Интегрирование по частям Пример:

Понятие определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница Вычислим площадь криволинейной трапеции. Разобьем отрезок [a; b ] на n равных частей. Проведем через полученные точки прямые, параллельные оси OY. Заданная криволинейная трапеция разобьется на n частей. Площадь всей трапеции приближенно равна сумме площадей столбиков. по определению, его называют определенным интегралом от функции y=f(x) по отрезку [a; b ] и обозначают так: по определению, его называют определенным интегралом от функции y=f(x) по отрезку [a; b ] и обозначают так:

Связь между определенным интегралом и первообразной (Формула Ньютона - Лейбница) Для непрерывной функции где F(x) – первообразная функции f(x).

Свойства определенного интеграла

Применение определенного интеграла для вычисления площадей криволинейных фигур. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной положительной на промежутке [a;b] функции f(x), осью x и прямыми x=a и x=b:

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на промежутке [a;b] функции f(x), осью x и прямыми x=a и x=b: Если функция изменяет знак на промежутке [a;b], то

Вычисление площадей и объемов с помощью определенного интеграла Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций y=f(x) и y=g(x) таких, что для любого x из [a;b], где a и b – абсциссы точек пересечения графиков функций:

Объем тела, полученного в результате вращения вокруг оси x криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной функции y=f(x) на отрезке [a;b]: