Исследование функций 10 класс Р.О. Калошина, ГБОУ лицей 533

План урока Производная и экстремумы Производная и экстремумы Вторая производная Вторая производная Исследование функций Исследование функций Выпуклость графика функции Выпуклость графика функции О f(x)>0 М. X y f(x)<0 C

Производная и экстремумы Теорема: В точке экстремума производная функции либо равна нулю, либо не существует. Теорема: Если функция непрерывна на отрезке [a;b], то среди её значений есть наибольшее и наименьшее.

Правило отыскания наименьшего и наибольшего значения непрерывной функции на отрезке 1. Найти производную функции; 2. Приравнять производную 0 и найти корни этого уравнения; 3. Найти точки, в которых функция не имеет производной; 4. Вычислить значения функции на концах отрезка; 5. Вычислить значения функции в точках, найденных в п. 2 и 3; 6. Выбрать из них наибольшее и наименьшее.

ПРИМЕР Р = k x y 2 Сопротивление изгибу балки прямоугольного сечения пропорционально ее ширине х и квадрату ее высоты у : Р = k x y 2 Какое сечение цилиндрического R Какое сечение должна иметь балка наибольшего сопротивления изгибу, вырезанная из цилиндрического бревна радиуса R? R x y

ПРИМЕР - решение R x y Р = k x y 2 = k x (4R 2 – x 2 ) Т.О. надо найти наибольшее значение функции P(x) = k x (4R2 – x2) на отрезке [0;R]. P(x)=4kR2 – 3kx2; P(x)=0; 4kR2 – 3kx2=0; k(4R2 – 3x2)=0; 4R2 = 3x2; [0;R]

ПРИМЕР - решение R x y при х = 0; х = R; Сравним значения функции P(x) = k x (4R2 – x2) P(x) = k x (4R2 – x2) P(0)=0; P (R)=0; Т.о. должно выполняться условие:

Вторая производная Пусть функция f(x) имеет производную f. Пусть функция f(x) имеет производную f. Эта производная является функцией от х, и если она дифференцируема, то её производную наз. второй производной от f : f = (f) Эта производная является функцией от х, и если она дифференцируема, то её производную наз. второй производной от f : f = (f) Пример :f(x) = x 4 + 3x 2 Пример : f(x) = x 4 + 3x 2 f(x) = (4x 3 + 6x) = 12x f(x) = (4x 3 + 6x) = 12x 2 + 6

Теорема: Исследование функций Теорема: Если f(x) непрерывна на промежутке и f(x) >0 на этом промежутке, то f(x) – возрастает на этом промежутке; Если f(x) непрерывна на промежутке и f(x) >0 на этом промежутке, то f(x) – возрастает на этом промежутке; если f(x) <0, то f(x) – убывает на этом промежутке. если f(x) <0, то f(x) – убывает на этом промежутке.

Исследование функций Теорема: c c c максимума Теорема: Если f(x) непрерывна в точке c и слева от нее f(x) >0, а справа от c f(x) <0, то c – точка максимума f(x) Теорема: c c c минимума Теорема: Если f(x) непрерывна в точке c и слева от нее f(x) 0, то c – точка минимума f(x)

Пример: f(x) = x 2 +2x +1 f(x) = 2x +2 f(x)>0; 2x +2 > 0 x>-1 f(x)<0; 2x +2 < 0 x<-1f(x) f(x) + – –– – x Точка -1 является точкой минимума

Выпуклость графика функции Если на отрезке [a;b] функция f(x) непрерывна и f(x) >0 (соответственно f(x) 0 (соответственно f(x) <0), то график функции f(x) – обращен на этом отрезке выпуклостью вниз (соответственно вверх) f(x)>0 a b f(x)<0 a b

Точки перегиба графика Теорема: Если функция f(x) имеет вторую производную в окрестности точки с, и f(x) меняет знак при переходе через эту точку, то М(с; f(c)) – точка перегиба графика функции f(x). О f(x)>0 М. X y f(x)<0 C