Стереометрия Задачи на построение Геометрия 10 класс Р.О.Калошина, ГБОУ лицей 533

План урока Задача 1 Задача 1 Задача 1 Задача 2 Задача 2 Задача 3 Задача 3 Задача 4 Задача 4 Задача 5 Задача 6 Задача 7

Построить линию пересечения плоскости РQR (секущей плоскости) с плоскостью AВС. Задача 1 Дано: МАВСD – пирамида. На ребрах МА и МВ, и в грани МСD взяты соответственно точки Р, Q и R A B

A(P) (Q)B (R) Решение Построим точки Р', Q' и R' проекции соответственно точек Р, Q и R на плоскость AВС

Прямые РQ и РQ лежат в одной плоскости AMB. РQ РQ = S 1 – точка пересечения прямых. Точка S 1 РQ, точки Р и Q лежат в плоскости РQR, т.о. по аксиоме 2 точка S 1РQR. Аналогично, т.к. точка S 1РQ, точки Р' и Q' лежат в плоскости AВС, то точка S 1АВС. Итак, точка S 1, является общей точкой плоскостей РQR и АВС. Значит, по аксиоме 3 эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку S 1

Далее: в точке S 2 пересекаются лежащие в одной плоскости прямые QR и QR'. Точка S 2 - общая точка плоскостей РQR и АВС. По аксиоме 3 эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку S 2. Проведем прямую S 1 S 2. Так как обе ее точки лежат в плоскостях РQR и АВС, то по аксиоме 2 эта прямая лежит и в плоскости РQR, и в плоскости АВС. Таким образом, прямая S 1 S 2 это искомая линия пересечения плоскости РQR с плоскостью АВС.

Линию пересечения двух плоскостей называют также следом одной из них на другой. Построенная прямая S 1 S 2 это след плоскости РQR на плоскости АВС.

Сечения тетраэдра и параллелепипеда

А В С S Задача 1. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки D, Е, K. D E K M F Построение: 2. ЕК АС = F 3. ЕК АС = F 4. FD BС = M 5. FD BС = M 6. KM 1. DE DЕKМ – искомое сечение

АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Задача 2. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Р, К, М, М ВС К Р М Построение: 1. КP 2. EM КP (К 1 Р 1 ) 3. EK KРNМE – искомое сечение К1К1 Р1Р1 E N 4. МN EK 5. РN

АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М (М АВ) Н Т М Построение: 1. НМНМ 1. МТМТ 1. НTНT Выберите верный вариант 1-го шага:

АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Н Т М Построение: 1. НМ Комментарий: Данные точки принадлежат разным граням! Назад Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М (М АВ)

АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Н Т М Построение: 1. МT Комментарий: Данные точки принадлежат разным граням! Назад Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М (М АВ)

АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ DС = Е НТ DС = ЕНТ DС = Е 2. НТ BС = Е НТ BС = ЕНТ BС = Е Выберите верный вариант: Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М (М АВ)

АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ВС = Е Назад Комментарий: Данные прямые - скрещивающиеся! Пересекаться не могут! Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М (М АВ)

АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ DС = Е Е 3. ME AA 1 = F ME AA 1 = FME AA 1 = F 3. ME BС = F ME BС = FME BС = F 3. ME CC 1 = F ME CC 1 = FME CC 1 = F Выберите верный вариант: Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М (М АВ)

АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Н Т М Построение: 1. НТ 3. ME AA 1 = F 2. НТ DС = E E Назад Комментарий: Данные прямые - скрещивающиеся! Пересекаться не могут! Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М (М АВ)

АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Н Т М Построение: 1. НТ 3. ME CC 1 = F 2. НТ DС = E E Назад Комментарий: Данные прямые - скрещивающиеся! Пересекаться не могут! Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М (М АВ)

АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ DС = E E 3. ME ВС = F F F F 4. НFНF F 4. ТFТF 4. МТМТ Выберите верный вариант: Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М (М АВ)

АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ DС = E E 3. ME ВС = F F F 4. НF Комментарии: Данные точки принадлежат разным граням! Назад Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М (М АВ)

АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ DС = E E 3. ME ВС = F F 4. MT Комментарии: Данные точки принадлежат разным граням! Назад Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М (М АВ)

АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ DС = E E 3. ME ВС = F F F 4. ТF F А 1 А = K F А 1 А = K 5. ТF А 1 А = KТF А 1 А = K F В 1 В = K F В 1 В = K 5. ТF В 1 В = KТF В 1 В = K Выберите верный вариант: Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М (М АВ)

АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ DС = E E 3. ME ВС = F F F 4. ТF F А 1 А = K 5. ТF А 1 А = K Комментарий: Данные прямые - скрещивающиеся! Пересекаться не могут! Назад Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М (М АВ)

АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ DС = E E 3. ME ВС = F F F 4. ТF F В 1 В = K 5. ТF В 1 В = K K K АА 1 = L K АА 1 = L 6. МK АА 1 = LМK АА 1 = L K АD = L K АD = L 6. НK АD = L. НK АD = L K АD = L K АD = L 6. ТK АD = LТK АD = L Выберите верный вариант: Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М (М АВ)

АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ DС = E E 3. ME ВС = F F F 4. ТF F В 1 В = K 5. ТF В 1 В = K K K АD = L 6. НK АD = L Комментарии: Данные прямые - скрещивающиеся! Пересекаться не могут! Назад Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М (М АВ)

АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ DС = E E 3. ME ВС = F F F 4. ТF F В 1 В = K 5. ТF В 1 В = K K K АD = L 6. TK АD = L Комментарии: Данные прямые - скрещивающиеся! Пересекаться не могут! Назад Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М (М АВ)

АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ DС = E E 3. ME ВС = F F F 4. ТF F В 1 В = K 5. ТF В 1 В = K K K АА 1 = L 6. МK АА 1 = L L LT LT 7. LTLT LF LF 7. LFLF LH LH 7. LHLH Выберите верный вариант: Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М (М АВ)

АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ DС = E E 3. ME ВС = F F F 4. ТF F В 1 В = K 5. ТF В 1 В = K K K АА 1 = L 6. МK АА 1 = L L L 7. LТ Комментарии: Данные точки принадлежат разным граням! Назад Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М (М АВ)

АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ DС = E E 3. ME ВС = F F F 4. ТF F В 1 В = K 5. ТF В 1 В = K K K АА 1 = L 6. МK АА 1 = L L LF 7. LF Комментарии: Данные точки принадлежат разным граням! Назад Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М (М АВ)

АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ DС = E E 3. ME ВС = F F F 4. ТF F В 1 В = K 5. ТF В 1 В = K K K АА 1 = L 6. МK АА 1 = L L L 7. LН НТFМL – искомое сечение Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М (М АВ)

Пояснения к построению: 1. Соединяем точки K и F, принадлежащие одной плоскости А 1 В 1 С 1 D 1. А D В1В1 В С А1А1 C1C1 D1D1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки Е, F, K. К L М Построение: 1. KF 2. FE = L 3. FE АB = L EFKNM – искомое сечение F E N 4. LN FK 6. EM = M 5. LN AD = M 7. KN Пояснения к построению: 2. Соединяем точки F и E, принадлежащие одной плоскости АА 1 В 1 В. Пояснения к построению: и АВ, лежащие в одной плоскости L. 3. Прямые FE и АВ, лежащие в одной плоскости АА 1 В 1 В, пересекаются в точке L. Пояснения к построению: параллельно 4. Проводим прямую LN параллельно FK (если секущая плоскость пересекает противоположные грани, то она пересекает их по параллельным отрезкам). Пояснения к построению: пересекает ребро в точке M. 5. Прямая LN пересекает ребро AD в точке M. Пояснения к построению:. 6. Соединяем точки Е и М, принадлежащие одной плоскости АА 1 D 1 D. Пояснения к построению:. 7. Соединяем точки К и N, принадлежащие одной плоскости ВСС 1 В 1.

А В С S Задача 5. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки К, М, Р, Р АВС К М Р Е N F Построение: 1. КМ СА = Е 2. КМ СА = Е 3. EР АВ = F 4. ЕР АВ = F ВC = N ЕР ВC = N 5. МF 6. NК КМFN – искомое сечение

А D В1В1 В С А1А1 C1C1 D1D1 Задача 6. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки К, L, М. К L М Построение: 1. ML = E 2. ML D 1 А 1 = E 3. EK МLFKPG – искомое сечение F E N P G T = F 4. EK А 1 B 1 = F D = N 6. LM D 1 D = N 5. LF = T 7. ЕK D 1 C 1 = T 8. NT = G 9. NT DC = G = P NT CC 1 = P 10. MG 11. PK

А D В1В1 В С А1А1 C1C1 D1D1 Задача 7. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки F, K, L К L F

А D В1В1 В С А1А1 C1C1 D1D1 Задача 7. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки F, K, L. Проверка: К L М FМKLN – искомое сечение F N