Данная работа подготовлена для учителей математики и информатики. Имеет цель ознакомления учащихся на уроках и факультативных занятиях. Автор: учитель информатики и ИКТ Глушков Н. В. Глушков Н. В г г.

Содержание презентации 1. Понятие множестваПонятие множества 2. Операции над множествамиОперации над множествами 3. Взаимно-однозначное соответствиеВзаимно-однозначное соответствие 4. Наибольший общий делительНаибольший общий делитель 5. Наименьшее общее кратноеНаименьшее общее кратное 6. Понятие функцииПонятие функции 7. Системы уравненийСистемы уравнений 8. Системы и совокупности неравенствСистемы и совокупности неравенств 9. Системы неравенств с двумя переменнымиСистемы неравенств с двумя переменными 10. Вопросы и заданияВопросы и задания 11. Ответы к заданиям.Ответы к заданиям.

1.Одним из фундаментальных понятий математики является понятие множества. Множество можно представить себе как совокупность (собрание) некоторых объектов, объединенных по какому либо признаку. 2. Множество может состоять из чисел (предметов) и т.д. Каждое число (предмет), входящее в множество, называется элементом множества. Так, множество однозначных чисел состоит элементов 0,1,2,3.4,5,6,7,8,9.

3. Для записи множества с любыми элементами используются фигурные скобки. Элементы множества можно записать в любом порядке; например, {2;3;1;} и {1;3;2} -- это одно и то же множество, состоящее из чисел 1,2,3. 4. Чтобы отличать множества друг от друга, их обозначают прописными буквами латинского алфавита. Например, А={0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} -- множество однозначных чисел; число 4 принадлежит множеству А ( 4 А); число 20 множеству А не принадлежит (20 \ А)

5. Множество, которое не содержит элементов, называют пустым и обозначают символом Ø Если каждый элемент одного множества М является элементом другого множества К, то говорят, что множество М является подмножеством множества К Это выражается записью М К Рис.1 6.Из рис.1 видно, что каждый элемент множества М принадлежит так же и множеству К

7.Пустое множество Ø и само множество также считают подмножествами данного множества. Так, множество {1;2;3} имеет 8 подмножеств: Ø,{1},{2},{3},{1;2},{1;3},{2;3},{1;2;3} 8.Если каждый элемент множества А является одновременно элементом множества В (A B) и каждый элемент множества В – элементом множества А (В A), то множества А и В называют равными и пишут А=В 9. Различают конечные и бесконечные множества. Например, множество всех трехзначных чисел – конечное, а множество N натуральных чисел – бесконечное.

1.Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, которые принадле- жат каждому из данных множеств А и В (рис.2а). Пересечение множеств обозначают символом и пишут С= А В={x:x A и x B} A B C Рис. 2а Например, А={1;2;5;7}, B={3;5;7;8} Тогда пересечением Этих множеств служит множество C={5;7}

2. Если множества А и В (рис.2б). не имеют общих элементов, то пересечением таких множеств является пустое множество С= А В= Ø A Рис. 2б Например, А={1;2;5}, B={3;4;7} Тогда пересечением Этих множеств служит множество C= Ø А В

3. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов множеств А и В и только из них (рис.2в). Объединение множеств обозна- чают символом U и пишут C= А U В={x:x A или x B} Рис. 2в Например, А={1;2;5;7}, B={3;5;7} Тогда объединением Этих множеств служит множество D={1;2;5;7;3} A B C Если множества А и В имеют общие элементы, то каждый из этих общих элементов в объединение входит только один раз.

1. Если каждому элементу множества А можно поставить в соответствие один и только один элемент множества В и, наоборот, каждому элементу множества В можно поставить в соответствие один и только один элемент множества А, то такое соответствие между множествами А и В называется взаимно однозначным. 2. Если между множествами А и В можно установить взаимно однозначное соответствие (ВОС), то такие множества называются эквивалентными (равносильными). 3. Установление (ВОС) дает возможность сравнивать множества с бесконечным числом элементов. Например, между множеством N натуральных чисел и множеством всех четных натуральных чисел можно установить (ВОС): ………n ……2n Таким образом, эти два множества равносильны

1. Рассмотрим множество А делителей числа, например, 45 и множество В делителей числа 60, т.е. А={1;3;5;9;15;45}; B={1;2;3;4;5;6;10;12;15;20;30;60} Общими делителями чисел 45 и 60 называются числа, являющиеся элементами как множества А, так и множества В, т.е. элементы пересечения этих множеств: А В={1;3;5;15} 2.Наибольший из этих элементов ( число 15) называется наибольшим общим делителем и обозначается так: НОД(45,60)= Если наибольший общий делитель чисел равен 1, то такие числа называются взаимно простыми. Например, числа 16 и 25 – взаимно простые, так как НОД (16,25)=1. 4. Пример. Найти Д(126,540). Решение. Имеем: 540|2 126|2 270|2 63|3 135|3 21|3 45|3 7|7 15|3 1 5|5 1 A={2;2;3;3;3;5} B={2;3;3;7} A B={2;3;3} НОД=2*3*3=18 (НОД)

1. Рассмотрим множество А чисел, кратных 4, и множество В чисел кратных 6, т.е. А={4;8;12;16;20;24,28,36…….}; B={6;12;18;24;30;36……} Числа 12, 24,36 являются кратными 4 и 6. Множество С общих кратных есть пересечение множеств А и В, т.е. С = А В. 2.Наименьший элемент множества С называется наименьшим общим кратным данных чисел и обозначается так НОК(4,6)=12 3. Пример. Найти НОК(270,300). Решение. Имеем: 270|2 300|2 135|3 150|2 45|3 75|3 15|3 25|5 5|5 5|5 1 1 (НОК) A={2;3;3;3;5} B={2;2;3;5;5} AUB={2;2;3;5;5;3;3} НОК=2*2*3*5*5*3*3=2700

1. Функцией называется отношение f между множествами X и Y, при котором каждому элементу х Х соответствует единственный элемент y Y. При этом используют запись y=f(x). Множество Х ( D(f))называется областью определения функции, а множество {y Y|y=f(x), х Х} --множеством значений функции E(f). 2. Функцию называют так же отображением множества D(f) на множество E(f). Например, для функции f, заданной на рис.3а элементы a,b,c множества А отобража- ются на элементы 1,2,3 множества В. При этом D(f)=А, а E(f)=В Для функции f, заданной на рис. 3б D(f)={b;c}, а E(f)={1;3}

a b c `1`1 2 3 A B Рис 3 а а b c Элементы множества D(f) также называют значениями аргумента, а соответствующие им элементы множества Е(f) – значениями функции.

Теория множеств является управляющим инструментом для решения уравнений, систем, неравенств и их систем. 1.Уравнение с двумя переменными x и y имеет вид F(x,y)=g(x,y), где f и g выражения с переменными x и y. 2. Решением уравнения с двумя ( тремя и т.д.) переменными называют множество упорядоченных пар (троек и т.д.) значений переменных, обращающих это уравнение в верное равенство. 3. Если требуется найти все пары, тройки и т. д. чисел, являющихся решением всех данных уравнений, то множество этих уравнений называют системой уравнений. Например,

1.Если ставится задача найти множество общих решений двух или нескольких неравенств, то говорят, что надо решить систему неравенств 2. Значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство, называется решением системы неравенств. 2.Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств. 3.Неравенства, входящие в систему, объединяются фигурной скобкой. Иногда вместо фигурной скобки используется запись системы в виде двойного неравенства. Например систему: Можно записать таким образом: 2

4. Решение системы линейных неравенств с одной переменной сводится к следующим случаям: (1) (2) (3)(4) В случае (1) решением системы служит промежуток (b,+ ) (рис.4а); в случае (2) -- промежуток (a,b) (рис.4б); в случае (3) решением системы служит промежуток (-,a) (рис.4в); В случае (4) система не имеет решений – Ø (рис.4 г). ab a) ab б) a b В) a b г)

5. Пример. Решить систему неравенств: Имеем Для первого неравенства множеством решений служит промежуток (-,6), для второго, используя метод парабол– промежуток (2,7), а для третьего объединение промежутков (-,3] и [8,+ ). С помощью числовой прямой (рис.5) находим, что решением системы неравенств является пересечение указанных множеств т.е. числовой промежуток (2,3] Рис.5

6. Если ставится задача найти множество всех таких значений переменной, каждое из которых является реше- нием хотя бы одного из дан- ных неравенств, то говорят, что надо решить совокупность неравенств. 7. Значение переменной, при котором хотя бы одно из неравенств совокупности обращается в верное числовое неравенство, называется решением совокупности неравенств. Множество решений совокупности неравенств есть объединение множеств решений входящих в нее неравенств. 8. Пример. Решить совокупность неравенств Решение. Преобразовав каждое из неравенств, получим равно- сильную совокупность: x>7/3, x>1/4. Для первого неравенства множеством решений служит промежуток (7/3, + ), а для второго – промежуток (1/4,+ ). С помощью числовой прямой (рис.6) находим, что объединением этих множеств является промежуток (1/4,+ ). 1/47/3 Рис. 6

Если задана система неравенств с двумя переменными то решением системы называется упорядоченная пара чисел, удовлетворяющая каждому из неравенств этой системы. Поэтому множество решений системы есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств. Это множество можно изобразить графически на координатной плоскости. Пусть, например, задана система неравенств Для первого неравенства множество решений есть круг с радиусом 2 и с центром в начале координат, а для второго -- полуплоскость, расположенная над прямой 2x+3y=0. Множеством решений данной системы служит пересечение указанных множеств, т.е. полукруг рис 7

Y X 2 +y 2 =2 x 2x+3y=0 0 Рис.7 Множество решений данной системы неравенств -- полукруг

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ 1 какие числа относятся ко множеству N 2. Всегда ли выполнимо вычитание на множестве N 3. Что значит умножить число а на число b 4. Приведите примеры множеств 5. Вместо звездочки поставьте знак :, /, так, чтобы полученная запись была верной : а) {3;7}*{7;8;3} ; б) 7*{3;7;8}; в) Ø * {0;1;2}; г){3;4}*{3;4} д)5*{1;10;15) 6.Запишите множество натуральных чисел, расположенных между числами 10, и 16. Какое из чисел 0, 1, 10, 13, 20 принадлежит ( не принадлежит) этому множеству. Используйте соответствующие знаки. 7.Начертите два треугольника так, чтобы их пересечением был отрезок, а объединением --четырехугольник.Начертите 8.Начертите две концентрические окружности, найти их пересечение и объединение.

9) Решить системы уравнений 1) 2) 3)4) 5) 6) 7) 8)

10. Решить неравенства, системы и совокупность неравенств 1) 2) 3) 4) 5) 6) Совокупность неравенств

Ответ к заданию 7 Ответ к заданию 8 пересечение Объединение пересечение Объединение

ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЯМ 9 И (-2;-4), (10;0) 9.3 (8;2), (-8;-2),(-5;8,5),(5;-8,5) =