МОУ «СОШ 2 ГОРОДСКОГО ОКРУГА ЗАТО СВЕТЛЫЙ» ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА НА ТЕМУ: «ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ» ВЫПОЛНИЛ: УЧЕНИЦА 5 «Б» КЛАССА ДЕРГАЧЕВА КРИСТИНА МОУ СОШ 2 П. СВЕТЛЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ: ШИШАЛОВА ЛЮДМИЛА ЕВГЕНЬЕВНА.

АКТУАЛЬНОСТЬ: При изучении на уроках математики темы: «Признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10» у меня возник интерес к исследованию чисел на делимость. Не всегда одно натуральное число делится на другое натуральное число без остатка. На уроке, выполняя деление чисел и получая остаток, думаем, что допустили ошибку, тем самым теряем время. Возникает необходимость, не выполняя деление, установить, делится ли одно натуральное число на другое.

ГИПОТИЗА: С помощью изученных признаков делимости можно определить делится ли натуральное число на 2, 3, 5, 9, 10. А нельзя ли определить делимость натуральных чисел на другие числа.

ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ: Делимость натуральных чисел

ПРЕДМЕТ ИССЛЕДОВАНИЯ: Признаки делимости натуральных чисел

ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ: Расширить границы моих знаний в области признаков делимости натуральных чисел, изучаемых в школе. Попробовать сформулировать другие признаки делимости натуральных чисел нацело.

ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ: Повторить признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10, изучаемые в школе. Найти и изучить исторические факты по данному вопросу Исследовать самостоятельно признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 12, 15, 24, 50, Найти в дополнительной литературе другие признаки делимости натуральных чисел и систематизировать материал. Рассмотреть применение признаков делимости натуральных чисел при решении олимпиадных задач

НОВИЗНА: По ходу выполнения проекта исследовательской деятельности я углубила свои знания по математике о признаках делимости натуральных чисел и выяснила, как эти знания могут пригодится на уроках.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ: Сбор информации Использование интернет-ресурсов Обработка данных Наблюдение Сравнение Анализ Обобщение

НЕМНОГО ИЗ ИСТОРИИ Признаки делимости на 2, 3, 5, 9,10 были известны с давних времен. Признак делимости на 2 знали древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры.

НЕМНОГО ИЗ ИСТОРИИ: Признаки делимости на 2, 3 и 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи ( ).

НЕМНОГО ИЗ ИСТОРИИ: В III веке до нашей эры александрийский ученый Эратосфен открыл способ составления списка простых чисел, так как считал, что простые числа играют важную роль в изучении всех остальных чисел. Его метод составления списка назвали решето Эратосфена.

НЕМНОГО ИЗ ИСТОРИИ: Вопросы делимости чисел рассматривались пифагорейцами. В теории чисел была проведена большая работа по типологии натуральных чисел. Выделялись классы: Совершенные числа (число, равное сумме своих собственных делителей, например, 6=1+2+3); Дружественные числа (каждое из которых равно сумме делителей другого, например, 220 и 284: 284= ; 220= Фигурные числа (треугольное число, квадратное число) Простые числа и др.

НЕМНОГО ИЗ ИСТОРИИ: Выдающийся французский математик и физик Блез Паскаль ( ) еще в раннем возрасте вывел общий признак делимости чисел, из которого следуют все частные признаки. Признак Паскаля состоит в следующем: Натуральное число а разделится на натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делятся на это число.

НУЖНЫЕ ПОНЯТИЯ: Делителем натурального числа а называют натуральное число b, на которое а делится без остатка. Часто утверждение о делимости числа а на b выражают другими равнозначными словами: а кратно b, b делитель а. Натуральное число называют простым, если оно имеет два делителя: единицу и само это число. Натуральное число называют составным, если оно имеет более двух делителей.

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, ПОЛУЧЕННЫЕ МНОЮ САМОСТОЯТЕЛЬНО: Выполняя действия деления, умножения натуральных чисел, наблюдая за результатами действия, я заметила закономерности и получила следующие признаки делимости. Признак делимости на =100; 564=224; 1234=492; 1254=500; 23454=9380, …. Натуральное число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры 0 или образуют число, делящееся на 4.

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, ПОЛУЧЕННЫЕ МНОЮ САМОСТОЯТЕЛЬНО: Признак делимости на 6: Легко заметить, что 6=23, на основании этого можно сделать вывод: Если натуральное число одновременно делится на 2 и на 3, то оно делится и на 6. Примеры: Признак делимости на 15: Легко заметить, что 15=53, на основании этого можно сделать вывод: Если натуральное число одновременно делится на 5 и на 3, то оно делится и на 15. Примеры:

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, ПОЛУЧЕННЫЕ МНОЮ САМОСТОЯТЕЛЬНО: Признак делимости на 50: На 50 делятся числа 50, 100, 150, 200, 250, 300, 350, 400, …. Легко заметить закономерность и на основании этого можно сделать вывод: Если натуральное число оканчивается двумя нулями или 50, то это число делится на 50. Объединенный признак делимости на 10, 100,1000, и т.д.: Если в конце натурального числа стоят столько же нулей сколько и в разрядной единице, то число делится на эту разрядную единицу. Примеры:

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, ИЗУЧЕННЫЕ ИЗ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ: В дополнительной литературе я нашла подтверждение правильности сформулированных мною признаков делимости натуральных чисел на 4, 6, 15, 25, 100, Я также смогла найти еще другие признаки делимости: на 7, на 11,

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ Признаки делимости на 4. если 2 последние цифры данного числа образуют число которое делится на 4, то и само число делится на делится на 4, т.к. 56 : 4 = 14 Признак делимости на 8. если трёхзначное число, записано последними тремя цифрами данного числа делится на 8, то и само число делится на делится на 8 т.к. 640:8=80

Признаки делимости на способ. Число делится на 17, если число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно делится на 17, т.к (3·12) = 2941; (1·12) = 306; 30 + (6·12) = 102; 10 + (2·12) = 34, 34 : 17 = 2 2 способ. Число делится на 17, если разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц кратна не делится на 17, т.к – (2·5) = 3285, 328 – ( 5·5) = 328 – 25 = 303, 30 – (3·5) = 15, 15 не делится на 17.

Признак делимости на 19. Число делится на 19, если число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно делится на 19, т.к (2·6) = 76, 76 : 19 = 4 Признак делимости на 23. Число делится на 23 число его сотен, сложенное с утроенным числом единиц, кратно делится на 23, т.к (3· 42) = 414; 4 + (3·14) = 46, 46 : 23 = 2

Признак делимости на 11. если разность между суммой цифр, стоящих на чётных и суммы цифр стоящих на нечётных местах(или наоборот) делится на 11, то и само число делится на 11. Признак делимости на 99. Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть 1 цифра) и найдем сумму этих групп. Эта сумма делится на 99 само число делится на делится на 99, т.к = 198, 198 : 99 = 2

Признак делимости на 101. Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть 1 цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками. Если эта сумма делится на 101, то и само число делится на делится на 101, т.к. 59 – = 101, 101 :101 =1

ВСЕ ПЕРЕЧИСЛЕННЫЕ ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ МОЖНО РАЗДЕЛИТЬ НА 4 ГРУППЫ: 1 группа – когда делимость чисел определяется по последней (им) цифре (ам) – это признак делимости на 4, 8, 25, 50, 100, группа – когда делимость чисел определяется по сумме цифр числа 3 группа – когда делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами числа – это признак делимости на 7, на 11, на 13, на группа – когда для определения делимости числа используются другие признаки делимости – это признак делимости на 6, на 15, на 14, на 12.

ПРИМЕНЕНИЕ ПРИЗНАКОВ ДЕЛИМОСТИ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ: Делится ли на 9 число: +8 ? Решение: +8=1000….008 – число записано с помощью цифр 1, 0, 0…,0, 8 и сумма этих цифр равна 9, поэтому число делится на 9.

ВЫВОДЫ: В процессе работы я познакомилась с историей признаков делимости. Сама правильно сформулировала признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 15, 25, 50, 100, 1000,..., чему нашла подтверждение в дополнительной литературе. Работая с разными источниками и используя интернет- ресурсы, я убедилась в том, что существуют другие признаки делимости натуральных чисел на 7, на 11, на 12, на 13, на 14, на 19, на 37 и т.д., что подтвердило правильность гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел. Из дополнительной литературы я нашла и решила олимпиадные задания по математике, при решении которых применяются признаки делимости натуральных чисел. Существуют еще и другие признаки делимости, но на их изучение у меня не хватает пока знаний.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ: Знание и использование вышеперечисленных признаков делимости натуральных чисел значительно упрощает многие вычисления, тем самым экономит время, предупреждает вычислительные ошибки, которые можно сделать при выполнении действия деления. Собранный мной материал можно использовать на занятиях математического кружка. Учитель математики может использовать его на уроках при изучении данной темы. Также с моей работой могут ознакомиться пятиклассники, которые хотят узнать о математике больше, чем обычный школьник.