«Все есть число», говорили пифагорейцы, подчеркивая необычайно важную роль чисел в практической деятельности. Для представления чисел используются системы счисления: НЕПОЗИЦИОННЫЕ ПОЗИЦИОННЫЕ

НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

В непозиционных системах счисления количественный эквивалент каждой цифры не зависит от её положения (места, позиции) в записи числа.

Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Находки археологов на стоянках первобытных людей свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких- либо значков (бирок): зарубок, черточек, точек. Такая система записи чисел называется единичной (унарной). Отображение количества предметов узелками

Примерно в третьем тысячелетии до нашей эры древние египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и т.д. использовались специальные значки иероглифы. Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи операции сложения.

В основе римской системы счисления лежали знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а для обозначения чисел 100(С), 500(D) и 1000(М) стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (Сentum сто, Demimille половина тысячи, Мille тысяча). Если «меньшая» цифра стоит слева от «большей», то она вычитается, а если справа – прибавляется. Например: число 1235 в римской системе счисления будет записано так – МССХХХV.

Более совершенными непозиционными системами счисления были алфавитные системы.

У славянских народов числовые значения букв установились в порядке славянского алфавита. Над буквами, обозначающими числа, ставился специальный знак «~» – титло. В России славянская нумерация сохранилась до конца XVII века. При Петре I возобладала так называемая арабская нумерация, которой мы и пользуемся сейчас.

Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков: 1. Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел. 2. Невозможно представлять дробные и отрицательные числа. 3. Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения.

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

В позиционных системах счисления количественный эквивалент каждой цифры зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа. Например, в числе 757,7 первая семёрка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, третья – 7 десятых.

Леонардо Пизанский (Фибоначчи, около ) изучал математику у арабских учителей. Затем посетил Египет, Сирию, Византию. На основе усвоенных знаний написал труд под названием «Книга абака». Благодаря этой книге в Европе распространилась позиционная система счисления.

Основные достоинства любой позиционной системы счисления простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов (цифр), необходимых для записи любых чисел.

Основание показывает также, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении ее на соседнюю позицию. За основание системы можно принять любое натуральное число два, три, четыре и т.д. Алфавит – множество используемых знаков. Основание - это количество цифр (знаков) в алфавите.

Двоичная система счисления. Основание: q=2. Алфавит: 0, 1. Восьмеричная система счисления. Основание: q=8. Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Шестнадцатеричная система счисления. Основание: q=16. Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Число Свёрнутая форма: 123 Развёрнутая форма: