АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ Геометрия 10 класс Яковлева Любовь Викторовна МОУ «Самосдельская СОШ им. Шитова В. А.»

Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. В стереометрии, также как и в планиметрии, свойства геометрических фигур устанавливаются путём доказательства соответствующих теорем. При этом отправными являются свойства основных геометрических фигур, сформулированных в виде аксиом.

Аксиомы – это первоначальные факты геометрии, которые принимаются без доказательств и позволяют вывести из них дальнейшие факты этой науки. «Аксиомы обладают наивысшей степенью общности и представляют начала всего» А РИСТОТЕЛЬ

«Так называемые аксиомы математики – это те немногие мыслительные определения, которые необходимы в математике в качестве исходного пункта» Ф. Энгельс.

Основные фигуры в пространстве Точка ПрямаяПлоскость

Изображать плоскость м ы будем в в иде параллелограмма и ли в в иде произвольной области. Плоскость, как и прямая, бесконечна. Н а рисунке м ы изображаем только часть плоскости, н о представляем е ё неограниченно п продолженной в о в се стороны. Плоскости обозначают греческими буквами

Введение нового геометрического образа (плоскости) заставляет расширить известную нам в планиметрии систему аксиом. Поэтому вводится группа аксиом С, которая выражает основные свойства плоскости в пространстве. Эта группа состоит из трёх аксиом.

Аксиомы группы С. С 1 : Какова б ы н и была плоскость, существуют т очки, принадлежащие этой плоскости, и т очки, н е принадлежащие ей. А К D B С

С 2 : Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. С с

С 3 : Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну. a b С

А ксиомы выражают интуитивно ясные свойства плоскостей, их связь с двумя другими основными фигурами стереометрии – с прямыми и точками. Рассмотренные аксиомы С 1 - С 3 относятся только к плоскостям, и к ним необходимо добавить аксиомы о прямых, аналогичные соответствующим планиметрическим аксиомам. Таким образом, система аксиом стереометрии состоит из аксиом планиметрии и аксиом группы С.

Система аксиом стереометрии I 1 : Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. I 2 : Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

Система аксиом стереометрии II: Из трёх точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими. III: Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой. АВ > 0 А ВС АВ = АС + СВ

Система аксиом стереометрии IV: Прямая принадлежащая плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости.

АВС > 0 ےАВС = Система аксиом стереометрии V: Каждый угол имеет определённую градусную меру, большую нуля. Развёрнутый угол равен 180º. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами. А В С Е 180 ° ےАВЕ + ےСВЕ

Система аксиом стереометрии VI: На любой полупрямой от её начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один. VII: От полупрямой на содержащей её плоскости в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180º, и только один. О А К ОК = а АО К а

Система аксиом стереометрии VIII: Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.

Система аксиом стереометрии IX : На плоскости через данную точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Система аксиом стереометрии С 1 : Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей. С 2 : Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. С 3 : Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

Решение задач По рисунку ответьте на вопросы: 1) Какие точки принадлежат плоскости α? 2) Какие точки не принадлежат плоскости α? A B C D F

В А С М Р S К По рисунку ответьте на вопросы. Каким плоскостям принадлежит точка А;М; К; S;P

В А С М Р S К Решение задач По рисунку ответьте на вопросы. Вне каких плоскостей лежит точка М;К;А;P;P; S

В А С М Р S К Решение задач По рисунку ответьте на вопросы. По какой прямой пересекаются плоскости 1. ABS и BSC; 2. ABC и ASC; 3. ABC и ABS; 4. ABS и ASC; 5. PSC и ABC.

Решение задач Могут ли две различные плоскости иметь только одну общую точку? Каково взаимное расположение двух прямых пространстве, если они имеют две общие точки? Могут ли две различные прямые в пространстве иметь более одной общей точки?

Столяр проверяет, лежат ли ножки стула в одной плоскости, при помощи двух нитей. Объясните, как он это делает.

Докажите, что все вершины четырёхугольника принадлежат одной плоскости, если его диагонали пересекаются.

Выполните: Упр. 3. Упр. 1.

Домашнее задание Изучить п.1. Повторить аксиомы I – IX. Выполнить упр. 2.

Информационные источники Литература. 1. А.В.Погорелов Геометрия 10-11,Москва, Просвещение,2009 год. 2. Геометрия 10 класс (поурочные планы). Составители Т. Л. Афанасьева, Л. А. Тапилина. Изд. «Учитель», Волгоград, Зив Б. Г. Геометрия: дидактические материалы для 10 класса. М.: Просвещение, Саакян С. М. Изучение геометрии в 1011 классах /С. М. Саакян, В. Ф. Бутузов. М.: Просвещение, Земляков А. Н. Геометрия в 10 классе: методические рекомендации. М.: Просвещение, Геометрия классы. Тесты для текущего и обобщающего контроля. Авторы- составители: Г.И. Ковалёва, Н.И. Мазурова. 7. Евстафьева Л. П. Геометрия: дидактические материалы для 1011 класса. М.: Просвещение, Геометрия, 1011: Кн. для учителя / А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик, Л. П.Евстафьева. М.: Просвещение, Зив Б. Г. Задачи по геометрии для 711 классов/ Б. Г. Зив, В. М. Мейлер, А. Г. Баханский. М.: Просвещение,