Геометрия на клетчатой бумаге МБОУ «Солоновская средняя общеобразовательная школа имени Матренина А.П.» Исследовательский проект - презентация Выполнили: Борзов Иван и Усольцев Александр Руководитель: Шарабарина Галина Гавриловна, учитель математики

Ц ель исследования 1. Вывод формулы площади трапеции различными способами 2. Расширение знаний о многообразии задач на клетчатой бумаге, о приёмах и методах решения этих задач. Для достижения поставленной цели предусматриваем решение следующих задач: Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию Проанализировать и систематизировать полученную информацию Найти различные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам Сделать выводы по результатам работы. Подобрать наиболее интересные, наглядные примеры. Методы исследования: 1. Моделирование 2. Построение 3. Анализ и классификация информации 4. Сравнение, обобщение 5. Изучение литературных и Интернет-ресурсов

. Гипотеза: если геометрическая фигура изображена на клетчатой бумаге, то её площадь можно вычислить различными способами и убедиться, что результаты вычислений будут одинаковыми. При решении задач на клетчатой бумаге нам понадобится геометрическое воображение и достаточно простые геометрические сведения, которые известны всем. Объект исследования: задачи на клетчатой бумаге

от греч. trapeza стол. Трапеция буквально «столик». Геометрическая фигура была названа так по внешнему сходству с маленьким столом. Трапеция

Мы выделили следующие способы нахождения площади трапеции : Способ «Достроения или Разности» Способ « Перекраивание» Способ «Разрезания » Способ «По формуле Пика» Названия способов условные. Сейчас каждый способ рассмотрим отдельно на примере трапеции. Вывод формулы площади трапеции различными способами

a b h h + Способ «Разрезания»

a b a h S = ah + h (b-a) = ah + hb - ha = ha + hb = h (b + a) Способ «Разрезания»

b a h S = Способ «Разрезания»

a b h S = Способ «Разрезания»

a b h ah = ah - S = Способ «Достроения или Разности»

a b h b - a S =bh - Способ «Достроения или Разности»

a b Способ « Перекраивание»

b a

a b h

Формула Пика. Узел – пересечение двух прямых. – внутренние узлы. – внутренние узлы. – узлы на границе. – узлы на границе.

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена трапеция Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах. Решение. Воспользуемся формулой Пика: В = 12, Г = 17 S = /2 – 1 = 19,5 (см²) Ответ: 19,5 По формуле геометрии Задание из ЕГЭ

Sпр=7*6=42 По формуле Пика Г=14 В=14 S=14+14/2 – 1=20 Sтр=1/2*6*6=18 Sтр=1/2*2*2=2 Sтр=1/2*4*1=2 S=42-(18+2+2)=20 По формуле геометрии

По формуле Пика Г=4; В=32 По формуле геометрии Sкв.= a²=7²=49 S = 49-(3, ,5+1) =33 см²

Г=18, В=28 S= /2 -1=36 см² По формуле геометрии По формуле Пика

Г=18;В=28. S=28+18/2 -1=36 см² По формуле геометрии см² По формуле Пика

Георг Алекса́ндр Пик 10 августа июля 1942) австрийский математик Георга, который был одарённым ребёнком, обучал отец, возглавлявший частный институт. В 16 лет Георг закончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику. Шестнадцатого апреля 1880 года Пик защитил докторскую диссертацию «О классе абелевых интегралов» В Немецком университете в Праге в 1888 году Пик получил место экстраординарного профессора математики, затем в 1892-м стал ординарным профессором. В годах занимал пост декана философского факультета.10 августа июля 1942 австрийскийматематик Венский университет В 1910 году Георг Пик был в комитете, созданном Немецким университетом Праги для рассмотрения вопроса о принятии Альберта Эйнштейна профессором в университет. Пик и физик Антон Лампа были главными инициаторами этого назначения, и благодаря их усилиям Эйнштейн, с которым Пик впоследствии сдружился, в 1911 году возглавил кафедру теоретической физики в Немецком университете в Праге. Альберта Эйнштейна Антон Лампа Пик и Эйнштейн не только имели общие научные интересы, но и страстно увлекались музыкой. Пик, игравший в квартете, который состоял из университетских профессоров, ввёл Эйнштейна в научное и музыкальное общества Праги. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники.теорема Пика

Вывод : в результате проделанной работы: гипотеза подтвердилась: «если геометрическая фигура изображена на клетчатой бумаге, то её площадь можно вычислить различными способами и убедиться, что результаты вычислений будут одинаковыми». Практическая значимость: результаты можно использовать на уроках геометрии, для подготовке к ГИА и ЕГЭ

Заключение В процессе исследования изучили справочную, научно- популярную литературу. Узнали, что задача на нахождение площади многоугольника с вершинами в узлах сетки сподвигла австрийского математика Пика в 1899 году доказать замечательную формулу Пика. В результате нашей работы мы расширили свои знания о решении задач на клетчатой бумаге, определили для себя классификацию исследуемых задач, убедились в их многообразии. Мы научилась вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке и пришли к выводу, что тема, которая нас заинтересовала, достаточно многогранна, задачи на клетчатой бумаге многообразны, методы и приёмы их решения также разнообразны.

1. Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, 17, с Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2010 – В.В.Вавилов, А.В.Устинов.Многоугольники на решетках.М.МЦНМО, Мтематические этюды. etudes.ruetudes.ru 5.Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.Геометрия.7-9 классы.М. Просвещение,2010