ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

Параллельность прямых и плоскостей b aα A Две прямые в пространстве параллельными называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. a1a1 Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися скрещивающимися.

Теорема 2.1. Теорема 2.1. Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну. а А

Признак параллельности прямых Теорема 2.2. Теорема 2.2. Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. а b

Задача 5 Через концы отрезка АВ и его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках А 1, В 1 и М 1. Найдите длину отрезка ММ 1, если отрезок АВ не пересекает плоскость и если: АА 1 = 5 м, ВВ 1 = 7 м. А В М А1А1 В1В1 М1М1 Решение: Т.к. АА 1 и ВВ 1 параллельны между собой, то четырёхугольник А 1 АВВ 1 - трапеция. ММ 1 – средняя линия трапеции. ММ 1 = (АА 1 + ВВ 1 ) / 2 = ( ) : 2 = 6 (м) Ответ: 6 м. 5 7

Прямая и плоскость называются пересекающимися, если они имеют общую точку. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются. Теорема 2.3 Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. a b Дано: a b, b а 1 а 1 Доказать: a M Признак параллельности прямой и плоскости

Теорема 2.3 a) Плоскость, проходящая через прямую, параллельную другой плоскости, пересекает её по прямой, параллельной данной прямой. a b Дано: a, a а 1 а 1 Доказать: b a M

Задача 13 1 ): Дан треугольник АВС. Плоскость,параллельная прямой АВ, пересекает сторону АС этого треугольника в точке А 1, а сторону ВС - в точке В 1. Найдите длину отрезка А 1 В 1, если АВ=15 см, АА 1 : АС = 2 : 3. А В С А1А1 В1В1 Решение: треугольник АВС подобен треугольнику А 1 В 1 С. Поэтому составим пропорцию

Задача. Задача. Докажите, что середины сторон пространственного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма. А B C D K L

Признак параллельности плоскостей параллельными, Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, т.е. не имеют общих точек. Теорема 2.4 Теорема 2.4. Если две пересекающие прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. a1a1 a2a2 b1b1 b2b2 A c

Существование плоскости, параллельной данной плоскости Теорема 2.5 Теорема 2.5. Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, притом только одну. a b A

Cвойства параллельных плоскостей Cвойства параллельных плоскостей Теорема 2.6 Теорема 2.6. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны между собой. a b

Cвойства параллельных плоскостей Cвойства параллельных плоскостей Теорема 2.7 Теорема 2.7. Отрезки параллельных прямых, заключённых между двумя параллельными плоскостями равны. a b A1A1 A2A2 B1B1 B2B2