Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа сельского поселения «Село Вострецово» Охотского района Хабаровского края Проектная работа по математике по теме: «Сечения многогранников». Выполнила:ученица 10 класса Короткова Елена Проверила:учитель математики Громова Тамара Михайловна 2011 г.

В курсе стереометрии большое значение при решении задач имеет чертёж. Наглядность чертежу придают сечения многогранников различными плоскостями. Чтобы решить задачу, надо уметь правильно составить чертёж и построить сечение.

Секущая плоскость- это любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника. Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника.

Изображение сечения на чертеже. A B C D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 M E МА 1 ЕС- искомое сечение

Классификация сечений. Сечения классифицируются в зависимости от их расположения к оси многогранника, его граням и основаниям. Различают: осевые сечения, сечения, перпендикулярные к плоскости основания, параллельные плоскости основания и наклонные сечения.

Существует 3 основных метода построения сечений многогранника: 1) Метод следов. 2) Метод вспомогательных сечений. 3) Комбинированный метод. Два первых метода относятся к разновидности Аксиоматического метода построения сечений.

ММожно также выделить следующие методы построения сечений многогранников: 1)Построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку, параллельно заданной плоскости. 2)Построение сечения, проходящего через заданную прямую, параллельно другой заданной прямой. 3)Построение сечения, проходящего через заданную точку, параллельно двум заданным скрещивающимся прямым. 4)Построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную прямую, перпендикулярно заданной плоскости. 5) Построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданной прямой.

Примеры построения сечений. А С В D A1A1 B1B1 C1C1 A 1 B 1 C 1 – искомое сечение А В СD A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 E K AA 1 KE –искомое сечение М

Задача 1. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через середины двух смежных ребер куба и наиболее удаленную от соединяющей их прямой вершину куба. Пусть K и L –середины рёбер D 1 C 1 и С 1 В 1 куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Наиболее удалённой от прямой KL является вершина А. Плоскость сечения пересекается с плоскостью A 1 B 1 C 1 D 1 по прямой KL. Продолжим KL до пересечения с прямыми A 1 D 1 и A 1 B 1 в точках E и F. Точка E принадлежит плоскости АDD 1 A 1 по прямой AE. Обозначим через N точку пересечения этой прямой с ребром DD 1. Вновь имеем в плоскости грани, на сей раз грани DСС 1 D 1, две точки, принадлежащие сечению, - K и N. Строим отрезок K N, являющийся стороной многоугольника сечения. Аналогично находится точка М. Окончательно получаем, что сечением является пятиугольник KLMAN. АВ С D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 K L E F N M

Задача 2. В кубе с ребром а проведено сечение через середины рёбер AD и B 1 C 1 и вершины А 1 и С. Найдите площадь сечения. 1)Из прямоугольного треугольника MCD, в котором CD= a, MD=a/2, найдём CM= a5 /2. 2)Но А 1 Е=ЕС=СМ=МА 1 =a5 /2. 3)Так как А 1 ЕМС, значит А 1 ЕСМ- ромб. Его диагональ МЕ= DC 1,и поэтому МЕ=а 2 + а 2 = а 2. 4) Отрезок А 1 С- диагональ куба, следовательно А 1 С= а 2 + а 2 + а 2 = а 3. 5) Теперь находим, что S A1ECM =1/2 ME*A 1 C= а 26/2 А С С1С1 А1А1 В1В1 В М Е D D1D1