Алгебра и начала анализа, 10 класс (профильный уровень) А.Г.Мордкович, П.Е.Семёнов Учитель Волкова С.Е.

Определение 1 Говорят, что функция y = f (x), x X имеет период Т, если для любого х Х выполняется равенство f (x – T) = f (x) = f (x + T). Если функция с периодом Т определена в точке х, то она определена и в точках х + Т, х – Т. Любая функция имеет период, равный нулю при Т = 0 получим f(x – 0) = f(x) = f(x + 0).

Определение 2 Функцию, имеющую отличный от нуля период Т, называют периодической. Если функция y = f (x), x X имеет период Т, то любое число, кратное Т (т.е. число вида кТ, к Z), также является её периодом.

Доказательство Пусть 2Т – период функции. Тогда f(x) = f(x + T) = f((x + T) +T) = f(x +2T), f(x) = f(x - T) = f((x - T) -T) = f(x - 2T). Аналогично доказывается, что f(x) = f(x + 3T) = f(x - 3T), f(x) = f(x + 4T) = f(x - 4T) и т.д. Итак, f(x - кТ) = f(x ) = f(x + кT)

Наименьший период среди положительных периодов периодической функции называется основным периодом данной функции.

Особенности графика периодической функции Если Т – основной период функции y = f(x), то достаточно: - построить ветвь графика на одном из промежутков длины Т - выполнить параллельный перенос этой ветви вдоль оси х на ±Т, ±2Т, ±3Т и т.д. Обычно выбирают промежуток с концами в точках

Свойства периодических функций 1. Если f(x) – периодическая функция с периодом Т, то функция g(x) = A f(kx + b ), где к>0, также является периодической с периодом Т 1 = Т/к. 2. Пусть функция f 1 (x) и f 2 (x) определены на всей числовой оси и являются периодическими с периодами Т 1 > 0 и Т 2 >0. Тогда при Т 1 /Т 2 Q функция f(x) = f(x) +f 2 (x) – периодическая функция с периодом Т, равным наименьшему общему кратному чисел Т 1 и Т 2.

Примеры 1. Периодическая функция y = f(x) определена для всех действительных чисел. Её период равен 3 и f(0) =4. Найти значение выражения 2f(3) – f(-3). Решение. Т = 3, f(3) =f(0+3) = 4, f(-3) = f(0–3) =4, f(0) = 4. Подставив полученные значения в выражение 2f(3) – f(-3), получим =4. Ответ: 4.

Примеры 2. Периодическая функция y = f(x) определена для всех действительных чисел. Её период равен 5, а f(-1) = 1. Найти f(-12), если 2f(3) – 5f(9) = 9. Решение Т = 5 F(-1) = 1 f(9) = f(-1 +2T) = 1 5f(9) = 5 2f(3) = 9 + 5f(9) = 14 f(3)= 7 F(-12) = f(3 – 3T) = f(3) = 7 Ответ:7.

Используемая литература А.Г.Мордкович, П.В.Семёнов. Алгебра и начала анализа (профильный уровень), 10 класс А.Г.Мордкович, П.В.Семёнов. Алгебра и начала анализа (профильный уровень), 10 класс. Методическое пособие для учителя