МОУ СОШ 10 г. Красногорска, учитель математики Трапезникова Н.К. МОУ СОШ 10 г. Красногорска, учитель математики Трапезникова Н.К.

Тетраэдр Рассмотрим произвольный треугольник АВС и точку D, не лежащую в плоскости этого треугольника. Далее Содержание

Соединив точку D отрезками с вершинами треугольника АВС, получим треугольники DАВ, DВС и DСА. Содержание Далее

О п р е д е л е н и я. Поверхность, составленная из четырёх треугольников АВС, DАВ, DВС и DСА, называется тетраэдром и обозначается так: DАВС. Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями, их стороны - рёбрами, а вершины - вершинами тетраэдра. Содержание Далее

Тетраэдр имеет четыре грани, шесть рёбер и четыре вершины. Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными. На рисунке противоположными являются рёбра АD и ВС, ВD и АС, СD и АВ. Иногда выделяют одну из граней тетраэдра и называют её основанием, а три другие - боковыми гранями. Далее Содержание

Тетраэдр изображается обычно так, как показано на рисунках 34 и 35, т.е. в виде выпуклого или невыпуклого четырёхугольника с диагоналями. При этом штриховыми линиями изображаются невидимые рёбра. На рисунке 34 невидимым является только ребро АС, а на рисунке 35 - рёбра EK, KF и KL. Содержание

Рассмотрим два равных параллелограмма АВСD и А 1 В 1 С 1 D 1, расположенных в параллельных плоскостях так, что отрезки АА 1, ВВ 1, СС 1, DD 1 параллельны. Далее Содержание

Тетраэдр Параллелепипед Задачи на построение сечений Выход

Четырёхугольники АВВ 1 А 1, ВСС 1 В 1, СDD 1 C 1, DAA 1 D 1 также являются параллелограммами, т.к. каждый из них имеет попарно параллельные противоположные стороны (в четырёхугольнике АВВ 1 А 1 стороны АА 1 и ВВ 1 параллельны по условию, а стороны АВ и А1В1 А1В1 - по свойству линий пересечения двух параллельных плоскостей третьей. Содержание Далее

Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов ABCD и A1B1C1D1 и четырёх параллелограммов, называется параллелепипедом и обозначается так: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями, их стороны - рёбрами, а вершины параллелограммов - вершинами параллелепипеда. Далее Содержание

Параллелепипед имеет шесть граней, двенадцать рёбер и восемь вершин. Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются смежными, а не имеющие общих рёбер - противоположными.

На рисунке противоположными являются грани ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1, ABB 1 A 1 и DCC 1 D 1, ADD 1 A 1 и BCC 1 B 1. Две вершины, не принадлежащие одной грани, называются противоположными.

Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Каждый параллелепипед имеет четыре диагонали. На рисунке диагоналями являются отрезки AC 1, BD 1, CA 1 и DB 1.

Часто выделяют какие-нибудь две противоположные грани и называют их основаниями, а остальные грани - боковыми гранями параллелепипеда. Рёбра параллелепипеда, не принадлежащие основаниям, называются боковыми рёбрами. Если выбрать грани ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1, то боковыми гранями будут параллелограммы, а боковыми рёбрами - отрезки AA 1, BB 1, CC 1 и DD 1.

1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны. Докажем, параллельность и равенство граней ABB 1 A 1 и DCC 1 D 1 параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

Доказательство Доказательство. Т.к. ABCD и ADD 1 A 1 - параллелограммы, то AB II DC и AA 1 II DD 1. Таким образом, две пересекающиеся прямые AB и AA 1 одной грани соответственно параллельны двум прямым CD и DD 1 другой грани. Отсюда по признаку параллельности плоскостей следует, что грани ABB 1 A 1 и DCC 1 D 1 параллельны.

Докажем теперь равенство этих граней. Т.к. все грани параллелепипеда - параллелограммы, то AB=DC и AA 1 =DD 1. По этой же причине стороны углов A 1 AB и D 1 DC соответственно сонаправлены, и, значит, эти углы равны. Таким образом, две смежные стороны и угол между ними параллелограмма ABB 1 A 1 соответственно равны двум смежным сторонам и углу между ними параллелограмма DCC 1 D 1, поэтому эти параллелограммы равны.

2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Рассмотрим четырёхугольник A 1 D 1 CB, диагонали которого A1C и D 1 B являются диагоналями параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Т.к. A 1 D 1 II BC и A 1 D 1 =BC, то A1D1CB - параллелограмм. Поэтому диагонали A 1 C и D 1 B пересекаются в некоторой точке О и этой точкой делятся пополам.

Рассмотрим четырёхугольник AD 1 C 1 B. Он также является параллелограммом, и, следовательно, его диагонали AC 1 и D 1 B пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Но серединой диагонали D 1 B является точка O. Таким образом, диагонали A 1 C, D 1 B и AC 1 пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам.

Рассматривая четырёхугольник A 1 B 1 CD, точно так же устанавливаем, что и четвёртая диагональ DB 1 параллелепипеда проходит через точку О и делится ею пополам.

Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра по отрезкам Секущей плоскостью тетраэдра называется любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра (параллелепипеда). Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением тетраэдра (параллелепипеда).

Т.к. тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть только треугольники и четырёхугольники.

Параллелепипед имеет шесть граней. Его сечениями могут быть треугольники, четырёхугольники (рис.39,а), пятиугольники (рис.39,б) и шестиугольники (рис.39,в).

На рисунке 39,б секущая плоскость пересекает две противоположные грани ( левую и правую) по отрезкам AB и CD, а две другие противоположные грани ( переднюю и заднюю) - по отрезкам AE и BC, поэтому AB II CD и AE II BC.

По той же причине на рисунке 39,в AB II ED, AF II CD, BC II EF. Для построения сечения достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с рёбрами тетраэдра(параллелепипеда), после чего остаётся провести отрезки, соединяющие каждые две построенные точки, лежащие в одной и той же грани.

Задача 1. На рёбрах AB, BD и CD тетраэдра ABCD отмечены точки M,N и P. Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP.

Решение. Построим сначала прямую, по которой плоскость MNP пересекается с плоскостью грани ABC. Точка М является общей точкой этих плоскостей. Для построения ещё одной общей точки продолжим отрезки NP и BC до их пересечения в точке Е, которая и будет второй общей точкой плоскостей MNP и ABC.

Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой ME. Прямая ME пересекает ребро AC в некоторой точке Q. Четырёхугольник MNPQ - искомое сечение.

Если прямые NP и BC параллельны, то прямая NP параллельна грани ABC, поэтому плоскость MNP пересекает эту грань по прямой ML, параллельной прямой NP. Точка Q, как и в первом случае, есть точка пересечения ребра AC с прямой ML.

Точка М лежит на боковой грани ADB тетраэдра DABC. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно основанию ABC.

Решение. Т.к. секущая плоскость параллельна плоскости ABC, то она параллельна прямым AB, BC и CA. Следовательно, секущая плоскость пересекает боковые грани тетраэдра по прямым, параллельным сторонам треугольника ABC. Отсюда вытекает следующий способ построения искомого сечения. Проведём через точку М прямую, параллельную отрезку AB.

Обозначим буквами P и Q точки пересечения этой прямой с боковыми рёбрами DA и DB. Затем через точку P проведём прямую, параллельную отрезку AC, и обозначим буквой R точку пересечения этой прямой с ребром DC. Треугольник PQR - искомое сечение. Далее

На рёбрах параллелепипеда даны три точки A, B и C. Построить сечение параллелепипеда плоскостью ABC.

Решение. Построение искомого сечения зависит от того, на каких рёбрах параллелепипеда лежат точки A, B и C. Когда эти точки лежат на рёбрах, выходящих из одной вершины, нужно провести отрезки AB, BC и CA, и получится искомое сечение - треугольник ABC.

Если три данные точки A, B и C расположены так, как показано на рисунке, то сначала нужно провести отрезки AB и BC, а затем через точку A провести прямую, параллельную BC, а через точку C - прямую, параллельную AB. Пересечения этих прямых с рёбрами нижней грани дают точки E и D. Остаётся провести отрезок ED, и искомое сечение - пятиугольник ABCDE - построено.

Более трудный случай, когда данные точки A, B C расположены так, как показано на рисунке. В этом случае сначала построим прямую, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания. Для этого проведём прямую AB, до пересечения с этой прямой в точке M. Далее через точку M проведём прямую, параллельную прямой BC. Это и есть прямая, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания.

Эта прямая пересекается с рёбрами нижнего основания в точках E и F. Затем через точку E проведём прямую, параллельную прямой AB, и получим точку D. Проводим отрезки AF и CD, и искомое сечение - шестиугольник ABCDEF - построено.