МОУ Теньгушевская средняя общеобразовательная школа Алгебра 11 класс. Тема: Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции. Цель: Углубить ЗУН учащихся по теме: Исследование функций с помощью производной. Показать практическое приложение производной. Учитель – методист: Анна Павловна Родина

С а м о с т о я т е л ь н а я р а б о т а 1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции. а) а) б) б) 2. Исследуйте функцию у=f(x) на максимум и минимум. а) а) б) б) 3. Найти все значения а, при которых для всех действительных значений х, если

Признаки возрастания и убывания функции. Теорема 1. Если функция, имеющая производную для всех значений аргумента из интервала (а;в), возрастает в этом интервале, то производная в точках интервала (а;в) принимает либо положительное значения, либо в отдельных точках равна нулю. Доказательство: Пусть на (а;в) функция y=f(x) возрастает. Возьмем х (а;в), так чтобы а х в т.к. f(x) возрастает, то Тогда

Теорема 2. Если функция, имеющая производную для всех значений аргумента из интервала (а;в), убывает в этом интервале, то производная в точках этого интервала принимает либо отрицательные значения либо в отдельных точках равна нулю.

Теорема Лагранжа Если функция непрерывна на сегменте [а;в] и внутри него имеет производную, то найдется такое значение х=с (а

Геометрический смысл теоремы Лагранжа. Формула имеет интересный геометрический смысл: если в каждой точке дуги кривой существует касательная, то на дуге всегда найдется такая точка, в которой касательная параллельна хорде, стягивающей эту дугу. у М В А а с в х

Теорема 4. Если функция дифференцируема на интервале (а;в) и для всех, то функция возрастает на интервале (а;в). Доказательство: 1) Пусть и 2) где. т.к. на (а;в)

Интервалы монотонности Решение: х(-;1)(1;3)(3;+) +-+ возрастаетубываетвозрастает + +-

Необходимое условие существования экстремума функции. Теорема Если функция имеет производную в каждой точке интервала (а;в), то в точке экстремума производная равна нулю. Доказательство: Пусть, с – точка экстремума. Доказать, что. Пусть с – точка максимума. Тогда при выполняется. 1)если, то 2)если, то Итак:

Пример 1. Найти экстремумы функции. Решение: Пример 2.. Найти экстремумы функции. Решение: 1) 2) - Не имеет корней

Достаточные условия существования экстремума. Теорема 1. Пусть функция имеет производную в каждой точке некоторого интервала и пусть точка этого интервала есть стационарная точка функции. Тогда, если в некоторой окрестности точки слева от точки с производная положительна, а справа – отрицательна, то в точке с функция имеет максимум. Доказательство: Т.к. на (а;в) существует, то функция непрерывна.

Теорема 2. Пусть функция имеет производную в точке интервала и пусть точка этого интервала есть стационарная точка функции. Тогда, если в некоторой окрестности точки слева от точки с производная отрицательна, а справа – положительна, то в точке с функция имеет минимум. Теорема 3. нет экстремума

Теорема 1, 2 и 3 справедливы также для точек, в которых производная не существует. Пример, при х=0 – точка минимума.

Приложения производной 1. Работа. Рассмотрим работу,которую совершает заданная сила при перемещении по отрезку оси Ох. Если сила постоянна, то работа, где А - работа, F – сила, S - длина пути. Если сила меняется, то F=F (x). на нельзя точно вычислить как произведение но при т.е.силу можно считать производной работы по перемещению

2. Заряд Пусть q - заряд, переносимый электрическим током через поперечное сечение проводника за время t. Если сила тока постоянна, то за время ток переносит заряд, равный. При силе тока,изменяющейся со временем по некоторому закону,то произведение дает главную часть приращения заряда на маленьком отрезке времени,т.е.. Значит сила тока является производной заряда по времени

3. Температура Длина стержня меняется в зависимости от температуры по закону Найти коэффициент линейного расширения при Найти промежутки расширения и сжатия стержня. Решение: 1) 2)

4. Успехи ученика Обсуждая успехи своего ученика, учитель математики так отозвался о нем: «Он очень мало знает, но у него положительная производная». Что хотел сказать учитель? Да. Скорость приращения знаний у ученика положительна, а это есть залог того, что его знания возрастут. Подумайте, как вы могли бы охарактеризовать три разные кривые роста знаний.

Домашние задание: Тренажер: найти точки экстремума функции.