Т ЕМА : О КРУЖНОСТЬ. o Автор: Щалпегина Ирина Владимировна o Учебные материалы по геометрии для 8 класса.

Окружность. Радиус. Хорда. Диаметр. Центральный угол. Вписанный угол. Задача. Свойство вписанного угла. Задача. Теорема о полусумме дуг. Задача. Теорема о полуразности дуг. Задача. Произведение отрезков пересекающихся хорд. Пропорциональность отрезков хорд и секущей. Свойство отрезков касательной. Задача. Геометрическое место точек. Теорема о геометрическом месте точек. Серединный перпендикуляр. Описанная окружность. Треугольник, вписанный в окружность. Задача. Касательная к окружности. Окружность, вписанная в треугольник. Задача. Окружность, описанная около четырехугольника. Задача. Окружность, вписанная в четырехугольник. Задача.

Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки – центра окружности. Расстояние от центра О окружности до лежащей на ней точки А равно 5 см. Докажите, что расстояние от точки О до точки В этой окружности равно 5 см, а расстояние от О до точек С и D, не лежащих на ней, не равно 5 см. Окружность. О C D А В назад

Р АДИУС. Радиусом называется отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности. Точки X,Y,Z лежат на окружности с центром М. Является ли радиусом этой окружности 1) Отрезок MX; 2) Отрезок YZ ? Y X Z назад

Х ОРДА. Что такое хорда окружности? Хордой называется отрезок, соединяющий две точки окружности. назад О А В

Д ИАМЕТР. Что такое диаметр окружности? Диаметром называется хорда, проходящая через центр. назад О А В

Ц ЕНТРАЛЬНЫЙ УГОЛ Центральный угол – угол с вершиной в центре окружности. Градусная мера центрального угла соответствует градусной мере дуги, на которую он опирается (если дуга меньше полуокружности). Назовите по рисунку все центральные углы. О С А В m назад

Если центральные углы данной окружности равны, то соответствующие им дуги попарно равны. Сформулируйте обратное утверждение. А О С В D назад

В ПИСАННЫЙ УГОЛ. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность. Какие из углов являются вписанными в окружность? назад А В С

Угол ABC- вписанный в окружность. АС – диаметр. Докажите, что угол ABC- прямой. Задача. назад О А С В

С ВОЙСТВО ВПИСАННОГО УГЛА. Докажите, что равны все вписанные в окружность углы, стороны которых проходят через две данные точки окружности, а вершины лежат по одну сторону от прямой, соединяющей эти точки. назад

З АДАЧА. Точки А, В и С лежат на окружности с центром О, АВС = 50, АВ : СВ = 5 : 8. Найдите эти дуги и АОС. назад

Д ОКАЖИТЕ ПО РИСУНКУ ТЕОРЕМУ. Угол ( АВС), вершина которого лежит внутри окружности, измеряется полусуммой двух дуг (АС и DЕ), одна из которых заключена между его сторонами, а другая между продолжениями сторон. АВС = 0,5 ( DЕ + АС). D Е А С назад

З АДАЧА. Хорды МК и РТ пересекаются в точке А. Найдите длину АМ, если АР = 2 дм, АТ = 24 дм, АМ : КА = 3 : 4. назад

Д ОКАЖИТЕ ПО РИСУНКУ ТЕОРЕМУ. Угол ( АВС), вершина которого лежит вне окружности и стороны пересекаются с окружностью, измеряется полу разностью двух дуг (АС и DЕ), заключенных между его сторонами. АВС = 0,5 ( DЕ + АС). В D Е А С назад

З АДАЧА. Расстояние от точки А до центра окружности радиуса 5 см равно 10 см. Через точку А проведена секущая, которая пересекает окружность в точках В и С. Найти АС, если точка В делит отрезок АС пополам. назад

П РОИЗВЕДЕНИЕ ОТРЕЗКОВ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ХОРД. Произведение длин отрезков пересекающихся хорд равны. Сформулируй эту теорему со словами «если», «то». Проверь себя: «Если хорды АВ и СD пересекаются в точке М, то АМ ВМ = СМ DМ С В м А D назад

П РОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ ХОРД И СЕКУЩЕЙ. Произведение длин отрезков секущей равно квадрату длины отрезка касательной. Если через точку М проведена секущая к окружности и касательная, причем точки А и В – точки пересечения окружности с секущей, а С – точка касания, то АМ ВМ = СМ. М С В А назад

С ВОЙСТВА ОТРЕЗКОВ КАСАТЕЛЬНОЙ. Отрезки двух касательных, проведенных к окружности из точки вне ее, равны и образуют равные углы с прямой, соединяющей эту точку с центром. Докажите теорему самостоятельно. А О С В назад

З АДАЧА. Из точки М к окружности с центром О и радиусом 8 см проведены касательные АМ и ВМ (А и В – точки касания). Найти периметр треугольника АВМ, если угол АОВ равен 120. назад

Г ЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК. Геометрическим местом точек называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определенным свойством. Объясните, почему окружность является геометрическим местом точек, равноудалённых от данной точки. назад О А В

Т ЕОРЕМА О ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ МЕСТЕ ТОЧЕК. Геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек, есть прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему эти точки и проходящая через его середину. Дано: а; АВ а; АО = ОВ. Доказать: а - геометрическое место точек, равноудалённых от А и В. Будет ли теорема доказана, если установить, что любая точка прямой а равноудалена от А и В. назад А В О М а

С ЕРЕДИННЫЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР. Серединным перпендикуляром к отрезку АВ называется прямая, проходящая через середину отрезка АВ перпендикулярно к нему. Докажите, что центр окружности лежит на серединном перпендикуляре к любой хорде этой окружности. назад

О ПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ. Т РЕУГОЛЬНИК, ВПИСАННЫЙ В ОКРУЖНОСТЬ. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины. В этом случае треугольник называется вписанным в окружность. Докажите, что стороны вписанного треугольника являются хордами описанной около него окружности. Где лежит центр окружности, описанной около треугольника? назад

Где лежит центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника? Задача. назад О А С В

З АДАЧА. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 10, 12, и 10 см. назад

К АСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности Общая точка окружности и касательной называется точкой касания. Что можно сказать о сторонах треугольника СDЕ по отношению к окружности? назад

О КРУЖНОСТЬ, ВПИСАННАЯ В ТРЕУГОЛЬНИК. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон. В этом случае треугольник называется описанным около окружности. Где лежит центр окружности, вписанной в треугольник? Треугольник ABC-описанный около окружности. Какие из треугольников AOM, MOB, BON, NOC, COK, KOA- равные? назад

З АДАЧА. В прямоугольном треугольнике один из углов 30. Найдите меньшую сторону треугольника, если радиус вписанной окружности равен 4 см. назад

О КРУЖНОСТЬ, ОПИСАННАЯ ОКОЛО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА. Если около выпуклого четырехугольника можно описать окружность, то сумма его противоположных углов равны двум прямым углам. Докажите: А + С = 180. Сформулируйте обратное утверждение. Около каких четырехугольников можно описать окружность? Почему? В С D A назад

З АДАЧА. Диагональ трапеции составляет с большим основанием угол 30, а центр окружности, описанной возле трапеции, принадлежит этому основанию. Найдите площадь трапеции, если ее боковая сторона равна 2 см. назад

О КРУЖНОСТЬ, ВПИСАННАЯ В ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК Если в четырехугольник можно вписать окружность, то сумма длин его противоположных сторон равны. Докажите: АВ+СD= ВС+АD. Сформулируйте обратное утверждение. В какие четырехугольники можно вписать окружность? В С D А N P K M назад

З АДАЧА. Найдите площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности, если ее основания равны 2 см и 8 см. назад