Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей. Исполнитель: ученик 7 «А» кл асса Рыбалко Павел г. Мытищи, 2012 год

Теорема: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны. а в А В = 2 c

Доказательство: A B CD M N 1 2 A B CD M N 1 2 K O Пусть прямые АВ и СD параллельны, МN их секущая. Докажем, что накрест лежащие углы 1 и 2 равны между собой. Допустим, что 1 и 2 не равны. Проведем через точку О прямую КF. Тогда при точке О можно построить KON, накрест лежащий и равный 2. Но если KON = 2, то прямая КF будет параллельна СD. Получили, что через точку О проведены две прямые АВ и КF, параллельные прямой СD. Но этого не может быть. Мы пришли к противоречию, потому что допустили, что 1 и 2 не равны. Следовательно, наше допущение является неправильным и 1 должен быть равен 2, т. е. накрест лежащие углы равны. F

Теорема: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны. а в А В = 2

Доказательство: 2 а в А В 3 1 Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей АВ, то накрест лежащие 1 и 3 будут равны. 2 и 3 равны как вертикальные. Из равенств 1 = 3 и 2 = 3 следует, что 1 = 2. Теорема доказана

Теорема: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°. а в А В = 180°

Доказательство: Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей АВ, то соответственные 1 и 2 будут равны, 2 и 3 – смежные, поэтому = 180°. Из равенств 1 = 2 и = 180° следует, что = 180°. Теорема доказана. 2 а в А В 3 1

Решение: 1. Пусть Х – это 2, тогда 1 = (Х+70°), т.к. сумма углов 1 и 2 = 180°, в силу того, что они смежные. Составим уравнение: Х+ (Х+70°) = 180° 2Х = 110 ° Х = 55° (Угол 2) 2. Найдем 1. 55° + 70° = 125° 3. 1 = 3, т.к. они вертикальные. 3 = 5, т.к. они накрест лежащие. 125° 5 = 7, т.к. они вертикальные. 2 = 4, т.к. они вертикальные. 4 = 6, т.к. они накрест лежащие. 55° 6 = 8, т.к. они вертикальные. Задача 1: A B Условие: найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных A и B секущей C, если один из углов на 70° больше другого.

Решение: 1. Т.к. 4 = 45°, то 2 = 45°, потому что 2 = 4(как соответственные) 2. 3 смежен с 4, поэтому 3+ 4=180°, и из этого следует, что 3= 180° - 45°= 135° = 3, т.к. они накрест лежащие. 1 = 135°. Ответ: 1=135°; 2=45°; 3=135°. Задача 2: A B 1 Условие: на рисунке прямые А II B и C II D, 4=45°. Найти углы 1, 2,

Решение: 1. 1= 2, т.к. они вертикальные, значит 2= 45° смежен с 2, поэтому 3+ 2=180°, и из этого следует, что 3= 180° - 45°= 135° =180°, т.к. они односторонние. 4 = 45°. Ответ: 4=45°; 3=135°. Задача 3: A B 2 Условие: две параллельные прямые А и B пересечены секущей С. Найти, чему будут равны 4 и 3, если 1=45°