Перпендикулярность прямых и плоскостей

Определение. Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Теорема 3.1 Если две пересекающие прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны. a b a1a1 b1b1 C C1C1 A A1A1 B B1B1

Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны. Найдите отрезок CD, если АВ = 3 см, ВС = 7 см, АD = 1,5 см. Задача 3 (П 14). Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны. Найдите отрезок CD, если АВ = 3 см, ВС = 7 см, АD = 1,5 см. А В С D Дано: АВ АС, АВ АD, AD AC. АВ = 3 см, ВС = 7 см, АD = 1,5 см. 3 см 7 см 1,5 см Найти CD. ? Решение: 1) АВС – прямоугольный, по теореме Пифагора АС 2 = ВС 2 – АВ 2 = 49 – 9 = 40, АС = см. 2) АСD – также прямоугольный, по теореме Пифагора СD 2 = AC 2 + AD 2 = = ,25 = 42,25. CD = см = 6,5 см. Ответ: CD = 6,5 см.

Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны. Найдите отрезок CD, если ВD = 9 см, ВС = 16 см, АD = 5 см. Задача 3 2) (П 14). Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны. Найдите отрезок CD, если ВD = 9 см, ВС = 16 см, АD = 5 см. А В С D Дано: АВ АС, АВ АD, AD AC. BD = 9 см, ВС = 16 см, АD = 5 см. 16 см 5 см Найти CD. ? Решение: 1) АВD – прямоугольный, по теореме Пифагора АB 2 = ВD 2 – АD 2 = 81 – 25 = 56, АС = см. 2) АСB – также прямоугольный, по теореме Пифагора AC 2 = BC 2 - AB 2 = = = 200. AC = см. Ответ: CD = 15 см. 9 см 3) ACD – прямоугольный, CD 2 = AC 2 +AD 2 = = = 225, CD = 15 см.

Перпендикулярность прямой и плоскости. перпендикулярной Определение. Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения данной прямой и плоскости

Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости. Теорема 3.2 Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости. a b c x C X B A A1A1 A2A2

Свойства перпендикулярных прямой и плоскости. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. Теорема 3.3 Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. a1a1 a2a2 A1A1A1A1 A2A2A2A2 x2x2x2x2 x1x1x1x1

Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны. Теорема 3.4 Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны. а b С b1b1 ВВ1В1

Перпендикуляр и наклонная. А В С АВ - перпендикуляр, расстояние от точки до плоскости. В – основание перпендикуляра. АС – наклонная, С- основание наклонной. ВС – проекция наклонной

Задача Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 15 см и 20 см. Разность проекций этих наклонных равна 7 см. Найдите проекции наклонных. А В 20 см С 15 см 7 см О Дано: АВ и АС – наклонные к плоскости АО, АВ = 20 см, АС = 15 см, ВС = 7 см. Найти: ВО и СО. Решение:1) Найдём площадь АВС по формуле Герона:. p = (a+b+c)/2 = ( )/2 = 21 см. = 7·6 = 42 см 2. 2), АО = 2·42/7 = 84/7 = 12 см. 12 см 3)АOС – прямоугольный, по теореме Пифагора ОС 2 = АС 2 – АО 2 = 225 – 144 = 81, ОС = 9 см.4) ОВ = ВС + ОС = = 16 см. Ответ: 9 см и 16 см. 9 см

Задача 24 2) Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных, если наклонные относятся как 1:2, а проекции наклонных равны 1 см и 7 см. А В 2 х С 1 х 7 см О Дано: АВ и АС – наклонные к плоскости АО, АВ : АС = 2 : 1, ВО = 7 см, СО = 1 см. Найти: АВ и АС. Решение: Ответ: 4 см и 8 см. 1 см Пусть АВ = 2 х см, АС = х. В АВО АО 2 = АВ 2 – ОВ 2 = 4 х 2 – 49, В АСО АО 2 = АС 2 – СО 2 = х 2 – 1.Т. к. левые части этих равенств равны, то равны и правые: 4 х 2 – 49 = х 2 – 1, 3 х 2 = 48, х 2 = 16, х = 4. Таким образом, АС = 4 см, АВ = 8 см.

Задача 23 Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 10 см и 17 см. Разность проекций этих наклонных равна 9 см. Найдите проекции наклонных. А В 17 см С 10 см 9 см О Дано: АВ и АС – наклонные к плоскости АО, АВ = 17 см, АС = 10 см, ВС = 9 см. Найти: ВО и СО. Решение:1) Найдём площадь АВС по формуле Герона:. p = (a+b+c)/2 = ( )/2 = 18 см. = 9·4 = 36 см 2. 2), АО = 2·36/9 = 72/9 = 8 см. 8 см 3)АВС – прямоугольный, по теореме Пифагора ОС 2 = АС 2 – АО 2 = 100 – 64 = 36, ОС = 6 см.4) ОВ = ВС + ОС = = 15 см. Ответ: 6 см и 15 см. 6 см

Задача 24 1) Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных, если одна из них на 26 см больше другой, а проекции наклонных равны 12 см и 40 см. А В (х + 26 )см С х см 40 см О Дано: АВ и АС – наклонные к плоскости АО, АС = х см, АВ = х+26 см, СО = 12 см, ОВ = 40 см. Найти: АВ и АС. Решение: Ответ: 15 см и 41 см. 12 см Пусть АС = х см, АВ = (х+26) см. В АВО АО 2 = АВ 2 – ОВ 2 = (х+26) 2 – 40 2, В АСО АО 2 = АС 2 – СО 2 = х 2 – 12 2.Т. к. левые части этих равенств равны, то равны и правые: (х+26) 2 – 40 2 = х 2 – 12 2, х х+676 – 1600 = х , 52 х = 780, х = 15 см. Таким образом, АС = 15 см, АВ = 41 см.

Теорема о трёх перпендикулярах. Если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна наклонной. Теорема 3.5 Если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна наклонной. Обратная теорема Обратная теорема Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной. А В С А1А1 с

Задача 48. Из вершины равностороннего треугольника АВС восставлен перпендикуляр AD к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до стороны ВС, если AD = 13 см, ВС = 6 см. А ВС D F 6 см 13 см Дано: АВС – равносторонний, АВ=ВС=АС= 6 см, АD (АВС), АD=13 см. Найдите: (D; BC). Решение: Решение: Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведённого из данной точки до прямой. Поэтому, из точки D опустим перпендикуляр DF на прямую ВС. По теореме о трёх перпендикулярах AF BC, т.к. треугольник АВС- равносторонний, то АF –медиана, т.е. BF=FC= 3 см. АFC – прямоугольный. По теореме Пифагора AF 2 = AC 2 – CF 2 = 36 – 9 = 27, AF = см. ADF – прямоугольный, DF 2 = AD 2 + AF 2 = = 196, следовательно DF = 14 см. Ответ: 14 см.

Задача. Стороны треугольника 15 см, 26 см и 37 см. Через вершину среднего по величине угла проведён перпендикуляр в его плоскости, равный 9 см. Найдите расстояние от концов этого перпендикуляра до противоположной стороны. А В С D 15 см 37 см 26 см 9 см Решение: Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведённого из данной точки до прямой. Поэтому, из точки В опустим перпендикуляр ВF на прямую ВС. F По теореме о трёх перпендикулярах DF AC.BF найдём из треугольника АВС. Найдём площадь треугольника АВС по формуле Герона.p = (a+b+c)/2 = ( )/2 = 39, S = = 13·3·4 = 156 (см 2 ). S= AC·BF,BF = 2·S/AC= 2·156 / 26 = 12 см. 12 см Треугольник DFB – прямоугольный.По теореме Пифагора DF 2 = DB 2 + BF 2, DF 2 = = 225, DF = 15 см. Ответ: 12 см и 15 см.

Задание на дом: П. 19, Задача. Из вершины треугольника АВС восставлен перпендикуляр ВD к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до стороны АС, если ВD = 9 см, АВ = 15 см, ВС = 20 см, АС = 7 см.

Задача. Из вершины треугольника АВС восставлен перпендикуляр ВD к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до стороны АС, если ВD = 9 см, АВ = 15 см, ВС = 20 см, АС = 7 см. А В С D 15 см 20 см 7 см 9 см Решение: Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведённого из данной точки до прямой. Поэтому, из точки D опустим перпендикуляр DF на прямую АС. F По теореме о трёх перпендикулярах BF AC.BF найдём из треугольника АВС. Вычислим площадь треугольника АВС по формуле Герона. p = (a+b+c)/2 = ( )/2 = 21, S = === 7·6 = 42 (см 2 ). S= AC·BF,BF = 2·S/AC= 2·42 / 7 = 12 см. 12 см Треугольник DFB – прямоугольный.По теореме Пифагора DF 2 = DB 2 + BF 2, DF 2 = = 225, DF = 15 см. Ответ: 15 см. 15 см

Перпендикулярность плоскостей. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей пересекает их по перпендикулярным прямым. Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей пересекает их по перпендикулярным прямым. с a b

Признак перпендикулярности плоскостей. Теорема 3.6 Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. b c a

Задача 59 1) Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если: АС = 6 м, ВD = 7 м, СD = 6 м. А В С D Дано:, А, В, АС CD, BD CD АС = 6 м, ВD = 7 м, СD = 6 м. Найти: АВ. 6 м 7 м 6 м ? Решение: BCD – прямоугольный, 90 0 по теореме Пифагора ВС 2 = СD 2 + BD 2,ВС 2 = = 85, ВС = м. АВС – прямоугольный, 90 0 по теореме Пифагора АВ 2 = АС 2 + ВС 2, АВ 2 = = 121, АВ = 11 м. Ответ : 11 м.

Задача Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если: АС = м, ВD = 5 м, СD = 7 м. А В С D Дано:, А, В, АС CD, BD CD АС = м, ВD = 5 м, СD = 7 м. Найти: АВ. м 5 м 7 м ? 90 0

Задача. Из меньшего угла треугольника со сторонами 9 см, 10 см и 17 см восставлен перпендикуляр к его плоскости, равный 15 см. Найдите расстояния от концов этого перпендикуляра до прямой, содержащей противолежащую сторону. А В С D 9 см 10 см 17 см Решение: 1) Т.к. АВС - тупоугольный, то перпендикуляр, проведённый из точки В, мы должны провести на продолжение стороны АС. F 2) Найдём площадь АВС по формуле Герона: p=(a + b + c): 2= ( ): 2 = 18 (см), = 9·4 = 36 см 2. 3), ВF = (2·S) : АС = (2· 36) : 9 = 8 (см). 4)DF AC по теореме о трёх перпендикулярах. DBF – прямоугольный, поэтому DF 2 = BD 2 + BF 2 = = = 289,DF = 17 см. Ответ: 8 см и 17 см. 8 см 15 см 17 см

Задание на дом: П 20, задачи 25, 59 3),

К задаче 25 А В О С 33 см 23 см 3 х 2 х Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 23 см и 33 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости, если проекции наклонных относятся как 2:3. ?

СПАСИБО ЗА СОВМЕСТНУЮ РАБОТУ. До свидания.