Вычисление объемов тел вращения Применение интеграла Преподаватель СПбТК Бушманова Екатерина Феликсовна

У х y=f(x) O Пусть функция y = f(x) определена, неотрицательна и непрерывна на отрезке [a; b], тогда график кривой у=f(x) на [a; b], ось OX, прямые x = a, x = b образуют криволинейную трапецию. Рассмотрим тело, образованное вращением этой криволинейной трапеции вокруг оси OX и найдем его объем. ab Постановка задачи

У х y=f(x) O Разобьем отрезок [a;b] на n частей произвольным образом, через каждую точку деления проведем плоскость, перпендикулярную к оси ОХ и найдём площади полученных поперечных сечений. Очевидно, что любое поперечное сечение тела вращения – круг. Радиус круга равен значению функции в х с Площадь этого круга – S(x) = π· f 2 (x с )

Построим на каждом промежутке цилиндрическое тело, образующая которого параллельна оси ОХ, а основанием является сечение - круг. Радиус круга равен значению функции в х с Площадь этого круга – S(x) = π f 2 (x с ) Объём цилиндра – V=S(x) Δx y=f(x) f(x с ) y xсxс r

Объем каждого цилиндра с основанием S(x) и высотой Δx равен S(x) Δx, а объем всего ступенчатого тела равен сумме объёмов всех цилиндров. Предел полученной интегральной суммы, который существует в силу непрерывности функции S(x), при n называется объемом заданного тела и равен определенному интегралу:

Тогда объем тела вращения вокруг оси ОХ: Если тело образовано вращением криволинейной трапеции, образованной функцией у=f(x) на отрезке [a;b],вокруг оси ОХ, то его объём можно найти по формуле: Предел полученной интегральной суммы, при n равен определенному интегралу: x y=f(x) y

Задача. Пусть тело образовано вращением параболы у=х 2 на отрезке [0;2] вокруг оси ОХ. Найдите объём тела вращения. у=х 2 у О х 2

Задача. Пусть тело образовано вращением функции у=0,5x на отрезке [0;4] вокруг оси ОХ. Найдите объём тела вращения. y O x4

x Рассмотрим конус и найдём его объём y hO r

x Рассмотрим усечённый конус и найдём его объём y h O R r

*** Найдите объём тела, если его поверхность получена вращением фигуры образованной графиками функций:

Вычисление определённых интегралов